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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 60 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 740 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 28b = 222c = 32d = 518
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 88 % und eine Spezifität von 89 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 5 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 88%Sp = 89%p = 5%
PPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 25, 28, 19, 10, 35.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 62?
μ = 70σ = 8x = 62
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 60 Handys, Mittelwert 148,5 h, bekannte Standardabweichung 11 h. Modell 2: 30 Handys, Mittelwert 156,5 h, bekannte Standardabweichung 17 h. Bestimme die untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 13. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2 hat?
σ = 13E = 290%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 49 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 103,3 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103,3s = 8n = 49
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 6. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 28/32 = 0,875
Kontrollen: 222/518 = 0,4286
Odds Ratio
OR = (28·518)/(222·32) = 2,042 ≈ 2,04
Antwort
OR = 2,04
OR über 1: Die Exposition ist bei den Fällen häufiger.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: PPV = 29,6 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Positive (pro Person)
Se·p = 0,88·0,05 = 0,044
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,11·0,95 = 0,1045
Positiver prädiktiver Wert
PPV = 0,044/(0,044 + 0,1045) = 0,2963 ≈ 29,6%
Antwort
PPV = 29,6%
Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 9,45
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −1
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwort
P = 0,8413
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = −14,69 h
Intervall für eine Differenz: Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler. Für zwei unabhängige Mittelwerte mit bekanntem σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) und z. Bei gleichen unbekannten Varianzen: gepooltes s_p und t mit n₁ + n₂ − 2 Freiheitsgraden. Bei verbundenen Daten rechnet man mit den Differenzen: d̄ ± t·s_d/√n.
Punktschätzer
x̄₁ − x̄₂ = 148,5 − 156,5 = −8
Standardfehler
SE = √(11²/60 + 17²/30) = 3,413
Fehlermarge
E = 1,96·3,413 = 6,69
Intervall
−8 ± 6,69 → [−14,69, −1,31]
Antwort
untere Grenze = −14,69 h
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 115
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,645·13/2)² = 114,3
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 115
Antwort
n = 115
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2,887
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Teststatistik
t = (103,3 − 100)/1,143 = 2,887
Antwort
t = 2,887
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 118
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.