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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein neuer Test wurde in einer Studie mit dem Referenzstandard verglichen (siehe Vierfeldertafel). Bestimme die positive Likelihood-Ratio LR+. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 323b = 23c = 17d = 757
LR+ =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 5 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 83 % und einer Spezifität von 84 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 5%Se = 83%Sp = 84%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 30, 25, 30, 50, 24, 16.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 5. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 57,5.
μ = 50σ = 5x = 57,5
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 25 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 5,9. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 95-%-Intervalls aus denselben Daten?
90%n₁ = 25E₁ = 5,995%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 19. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1 hat?
σ = 19E = 190%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 8 Studierende, mittlere Punktzahl 63,5, Standardabweichung 10,5. Gruppe 2: 13 Studierende, mittlere Punktzahl 54,5, Standardabweichung 11,5. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat? Die Standardabweichung ist 4. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 4E = 390%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: LR+ = 32,22
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Sensitivität und Spezifität
Se = 323/340 = 0,95
Sp = 757/780 = 0,9705
Positive Likelihood-Ratio
LR+ = 0,95/(1 − 0,9705) = 32,22
Antwort
LR+ = 32,22
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 21,4 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,83/(1 − 0,84) = 5,187
Vortest-Odds
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Nachtest-Odds
0,05263·5,187 = 0,273
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 0,273/(1 + 0,273) = 0,2145 ≈ 21,4%
Antwort
p′ = 21,4%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 11,43
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (57,5 − 50)/5 = 1,5
Antwort
z = 1,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 7,03
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191
Neue Fehlermarge
E₂ = 5,9·1,191 = 7,03
Antwort
E₂ = 7,03
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 977
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,645·19/1)² = 976,9
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 977
Antwort
n = 977
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,798
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolte Varianz
sp² = (7·10,5² + 12·11,5²)/19 = 124,1
sp = 11,14
Standardfehler
SE = 11,14·√(1/8 + 1/13) = 5,007
Teststatistik
t = (63,5 − 54,5)/5,007 = 1,798
Antwort
t = 1,798
Bei df = 19 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,093; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 5
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).