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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 300 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 130 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 201b = 73c = 99d = 57
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 94 % und eine Spezifität von 86 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 20 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 94%Sp = 86%p = 20%
PPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 50, 19, 50, 21, 11.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 110.
μ = 100σ = 8x = 110
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 16 Elementen hat den Mittelwert 37 und die Standardabweichung s = 18. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 16x̄ = 37s = 1895%t(15) = 2,131
untere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 17 Parzellen, mittlerer Ertrag 27 kg, Standardabweichung 7 kg. Parzellengruppe 2: 5 Parzellen, Mittelwert 15,5 kg, Standardabweichung 3 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 500 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 15. Eine Zufallsstichprobe von 36 Beobachtungen hat den Mittelwert 497,85. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ < 500. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 500σ = 15n = 36x̄ = 497,85H₁: μ < μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 4 Einheiten mit einer Teststärke von 95 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 10. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 201/99 = 2,03
Kontrollen: 73/57 = 1,281
Odds Ratio
OR = (201·57)/(73·99) = 1,585 ≈ 1,59
Antwort
OR = 1,59
OR über 1: Die Exposition ist bei den Fällen häufiger.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: PPV = 62,7 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Positive (pro Person)
Se·p = 0,94·0,2 = 0,188
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,14·0,8 = 0,112
Positiver prädiktiver Wert
PPV = 0,188/(0,188 + 0,112) = 0,6267 ≈ 62,7%
Antwort
PPV = 62,7%
Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 18,46
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (110 − 100)/8 = 1,25
Antwort
z = 1,25
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = 27,41
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Fehlermarge
E = 2,131·18/√16 = 9,589
Intervall
37 ± 9,589 → [27,41, 46,59]
Antwort
untere Grenze = 27,41
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,619 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (16·7² + 4·3²)/20 = 41
sp = 6,403
Fehlermarge
E = 1,725·6,403·√(1/17 + 1/5) = 5,619
Antwort
E = 5,619 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,1949
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5
z = (497,85 − 500)/2,5 = −0,86
Endfläche
Φ(0,86) = 0,8051
1 − Φ(0,86) = 0,1949
p-Wert
p = 0,1949
Antwort
p = 0,1949
p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 99
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.