Evidenzbasierte Praxis: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Statistik der evidenzbasierten Praxis

Sensitivität und Spezifität: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit: (a + d)/n
Likelihood-Ratios: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds: Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat: NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio: OR = ad/(bc)
Inzidenzrate: neue Fälle / Personenzeit

Methode

Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

2Übungsaufgaben

1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel

Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 160 Patienten eine neue Behandlung und 330 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme das relative Risiko RR für das Ereignis unter der Behandlung. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Behandlung: 16/160Kontrolle: 46/330

RR =

2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer

Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 74 % und eine Spezifität von 97 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 15 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.

Se = 74%Sp = 97%p = 15%

PPV = %

3.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 30, 42, 37, 49, 22, 39, 24.

n = 7

s =

4.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 40. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 560?

μ = 500σ = 40x = 560

P =

5.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 21 Elementen hat den Mittelwert 26,5 und die Standardabweichung s = 10,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 21x̄ = 26,5s = 10,590%t(20) = 1,725

untere Grenze =

6.KonfidenzintervalleSchwer

Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,01 hat?

p = 0,5E = 0,0190%

n =

7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 40 Teilen hat die mittlere Länge 127,5 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 6 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 100 Teilen hat den Mittelwert 126,3 mm, bekannte Standardabweichung 10 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 40x̄₁ = 127,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 100x̄₂ = 126,3 mmσ₂ = 10 mm

z =

8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 50 gegen H₁: μ < 50 wird bei α = 0.10 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 10. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 48.2. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.

μ₀ = 50μ = 48,2σ = 10n = 100α = 0,10

1 − β = %

3Lösungen

1.Statistik der evidenzbasierten Praxis

Antwort: RR = 0,72

Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.

Ereignisraten

EER = 16/160 = 0,1

CER = 46/330 = 0,1394

Relatives Risiko

RR = 0,1/0,1394 = 0,7174 ≈ 0,72

Antwort

RR = 0,72

2.Statistik der evidenzbasierten Praxis

Antwort: PPV = 81,3 %

Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.

Richtig und falsch Positive (pro Person)

Se·p = 0,74·0,15 = 0,111

(1 − Sp)·(1 − p) = 0,03·0,85 = 0,0255

Positiver prädiktiver Wert

PPV = 0,111/(0,111 + 0,0255) = 0,8132 ≈ 81,3%

Antwort

PPV = 81,3%

Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.

3.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 9,827

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 243/7 = 34,71

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−4,714)² + 7,286² + 2,286² + 14,29² + (−12,71)² + 4,286² + (−10,71)² = 579,4

Standardabweichung

s = √(579,4/6) = 9,827

Antwort

s = 9,827

4.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9332

Standardisieren

z = 1,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwort

P = 0,9332

5.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 22,55

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Fehlermarge

E = 1,725·10,5/√21 = 3,952

Intervall

26,5 ± 3,952 → [22,55, 30,45]

Antwort

untere Grenze = 22,55

6.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Nach n auflösen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

Aufrunden

n = 6766

Antwort

n = 6766

7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 0,8706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(6²/40 + 10²/100) = √1,9 = 1,378

Teststatistik

z = (127,5 − 126,3)/1,378 = 0,8706

Antwort

z = 0,8706

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: 1 − β = 69,78 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 50 − 1,282·1 = 48,72

z unter dem wahren Mittelwert

z = (48,72 − 48,2)/1 = 0,518

Leistung

Teststärke = P(Z < 0.518) = 69.78%

1 − β = 69,78%

Antwort

1 − β = 69,78%

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