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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 730 Patienten eine neue Behandlung und 320 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe eine Nebenwirkung hatten. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen behandelt werden, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 99/730Kontrolle: 29/320
NNH =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 26 % (RRR = 26 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 20 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 26%CER = 20%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 44, 40, 56, 11, 47.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 15. Welcher Anteil P der Werte liegt über 69?
μ = 60σ = 15x = 69
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 80 Handys, Mittelwert 129,5 h, bekannte Standardabweichung 20 h. Modell 2: 80 Handys, Mittelwert 115,5 h, bekannte Standardabweichung 19 h. Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 100 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 24. Eine Zufallsstichprobe von 64 Beobachtungen hat den Mittelwert 94,84. Teste H₀: μ = 100 gegen H₁: μ < 100. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 100σ = 24n = 64x̄ = 94,84H₁: μ < μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
In einer Studie erholen sich 60 von 200 Patienten unter Behandlung A und 27 von 150 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 27n₂ = 150
z =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 23
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 99/730 = 0,1356
CER = 29/320 = 0,09062
Number needed to harm
ARI = 0,1356 − 0,09062 = 0,04499
NNH = 1/0,04499 = 22,23 → 23
Antwort
NNH = 23
Etwa einer von 23 behandelten Patienten hat die Nebenwirkung aufgrund der Behandlung.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 20
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,2·0,26 = 0,052
Number needed to treat
NNT = 1/0,052 = 19,23 → 20
Antwort
NNT = 20
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 17,04
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 0,6
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwort
P = 0,2743
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 21,94 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Punktschätzer
x̄₁ − x̄₂ = 129,5 − 115,5 = 14
Standardfehler
SE = √(20²/80 + 19²/80) = 3,084
Fehlermarge
E = 2,576·3,084 = 7,945
Intervall
14 ± 7,945 → [6,055, 21,94]
Antwort
obere Grenze = 21,94 h
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Aufrunden
n = 1083
Antwort
n = 1083
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,04272
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (94,84 − 100)/3 = −1,72
Endfläche
Φ(1,72) = 0,9573
1 − Φ(1,72) = 0,0427
p-Wert
p = 0,04272
Antwort
p = 0,04272
p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = 2,571
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 27/150 = 0,18
p̂ = 87/350 = 0,2486
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,2486·0,7514·(1/200 + 1/150)) = 0,04668
Teststatistik
z = (0,3 − 0,18)/0,04668 = 2,571
Antwort
z = 2,571
|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.