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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohorte wurden Gruppen von Personen unterschiedlich lange nachbeobachtet (siehe Tabelle: Anzahl der Personen und Nachbeobachtungsjahre jeweils). Während der Nachbeobachtung traten 28 neue Fälle auf. Bestimme die Inzidenzrate IR pro 1000 Personenjahre. Runde auf eine Nachkommastelle.
550 × 2,5 Jahre470 × 3 Jahre28 neue Fälle
IR = pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 50 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 95 % und einer Spezifität von 61 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 50%Se = 95%Sp = 61%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 53, 43, 36, 23, 14, 30, 24.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 15. Welcher Anteil P der Werte liegt über 20?
μ = 50σ = 15x = 20
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 50 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 6,6. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 90-%-Intervalls aus denselben Daten?
95%n₁ = 50E₁ = 6,690%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 32. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat?
σ = 32E = 0,590%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
20 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −5,86 und die Standardabweichung der Differenzen 9,7. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = −5,86sd = 9,7
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 4 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 26. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Personenjahre
PY = 550·2,5 + 470·3 = 2785
Inzidenzrate
IR = 28/2785·1000 = 10,1 pro 1000 Personenjahre
Antwort
IR = 10,1 pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 70,9 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,95/(1 − 0,61) = 2,436
Vortest-Odds
0,5/(1 − 0,5) = 1
Nachtest-Odds
1·2,436 = 2,436
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 2,436/(1 + 2,436) = 0,709 ≈ 70,9%
Antwort
p′ = 70,9%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 13,23
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −2
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Antwort
P = 0,9772
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 5,539
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393
Neue Fehlermarge
E₂ = 6,6·0,8393 = 5,539
Antwort
E₂ = 5,539
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 11084
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,645·32/0,5)² = 11084
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 11084
Antwort
n = 11084
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −2,702
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 9,7/√20 = 2,169
Teststatistik
t = −5,86/2,169 = −2,702
Antwort
t = −2,702
Bei df = 19 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,093; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 362
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.