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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein neuer Test wurde in einer Studie mit dem Referenzstandard verglichen (siehe Vierfeldertafel). Bestimme die negative Likelihood-Ratio LR−. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 146b = 285c = 14d = 855
LR− =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ohne Arzneimittel haben 40 % der Patienten innerhalb eines Jahres eine bestimmte Nebenwirkung. Das Arzneimittel erhöht dieses Risiko mit einem relativen Risiko von RR = 1,77. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen das Arzneimittel ein Jahr lang einnehmen, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Kontrolle 40%RR = 1,77
NNH =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 54, 22, 26, 50, 14, 32.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 20. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 195?
μ = 170σ = 20x = 195
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 64 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 10,8. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 99-%-Intervalls aus denselben Daten?
90%n₁ = 64E₁ = 10,899%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,4 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,02 hat?
p ≈ 0,4E = 0,0290%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 81 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 495,1 und eine Stichproben-Standardabweichung von 20. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 495,1s = 20n = 81
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat? Die Standardabweichung ist 20. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 20E = 2,590%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: LR− = 0,12
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Sensitivität und Spezifität
Se = 146/160 = 0,9125
Sp = 855/1140 = 0,75
Negative Likelihood-Ratio
LR− = (1 − 0,9125)/0,75 = 0,1167 ≈ 0,12
Antwort
LR− = 0,12
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 4
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Risiko mit dem Arzneimittel
0,4·1,77 = 0,708
Absolute Risikozunahme
ARI = 0,708 − 0,4 = 0,308
Number needed to harm
NNH = 1/0,308 = 3,247 → 4
Antwort
NNH = 4
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,89
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 1,25
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Antwort
P = 0,8944
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 16,91
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566
Neue Fehlermarge
E₂ = 10,8·1,566 = 16,91
Antwort
E₂ = 16,91
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1624
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,645²·0,4·0,6/0,02² = 1624
Aufrunden
n = 1624
Antwort
n = 1624
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −2,205
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Teststatistik
t = (495,1 − 500)/2,222 = −2,205
Antwort
t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 174
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).