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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein neuer Test wurde in einer Studie mit dem Referenzstandard verglichen (siehe Vierfeldertafel). Bestimme die negative Likelihood-Ratio LR−. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 216b = 380c = 54d = 570
LR− =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 46 % (RRR = 46 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 38 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 46%CER = 38%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 16, 43, 47, 36, 51, 41, 38.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 165.
μ = 170σ = 10x = 165
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 36 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 10,7. Wie groß ist die Fehlermarge E₂, wenn dieselbe Studie stattdessen 324 Beobachtungen verwendet?
99%n₁ = 36E₁ = 10,7n₂ = 324
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 5 Parzellen, mittlerer Ertrag 92 kg, Standardabweichung 4 kg. Parzellengruppe 2: 12 Parzellen, Mittelwert 97 kg, Standardabweichung 6,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
9 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −8,2 und die Standardabweichung der Differenzen 10,7. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −8,2sd = 10,7
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 64 Messungen hat den Mittelwert 121,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 10. Bestimme die untere Grenze L des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 121,6σ = 10n = 6499%
L =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: LR− = 0,33
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Sensitivität und Spezifität
Se = 216/270 = 0,8
Sp = 570/950 = 0,6
Negative Likelihood-Ratio
LR− = (1 − 0,8)/0,6 = 0,3333 ≈ 0,33
Antwort
LR− = 0,33
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 6
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,38·0,46 = 0,1748
Number needed to treat
NNT = 1/0,1748 = 5,721 → 6
Antwort
NNT = 6
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 11,31
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (165 − 170)/10 = −0,5
Antwort
z = −0,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 3,567
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/324) = 0,3333
Neue Fehlermarge
E₂ = 10,7·0,3333 = 3,567
Antwort
E₂ = 3,567
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 9,313 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (4·4² + 11·6,5²)/15 = 35,25
sp = 5,937
Fehlermarge
E = 2,947·5,937·√(1/5 + 1/12) = 9,313
Antwort
E = 9,313 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −2,299
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 10,7/√9 = 3,567
Teststatistik
t = −8,2/3,567 = −2,299
Antwort
t = −2,299
Bei df = 8 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,306; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 118,4
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).