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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 220 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 360 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 71b = 176c = 149d = 184
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 82 % und eine Spezifität von 96 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 1 % eingesetzt. Bestimme den negativen prädiktiven Wert NPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 82%Sp = 96%p = 1%
NPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 18, 22, 57, 48, 57.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 5. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 97,5.
μ = 100σ = 5x = 97,5
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 100 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 5,8. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 99-%-Intervalls auf Basis von 25 Beobachtungen?
95%n₁ = 100E₁ = 5,899%n₂ = 25
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,8 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?
p ≈ 0,8E = 0,02590%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 81 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 500,9 und eine Stichproben-Standardabweichung von 5. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,9s = 5n = 81
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 200 gegen H₁: μ > 200 wird bei α = 0,10 mit einer Stichprobe von 36 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 9. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 204,5. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.
μ₀ = 200μ = 204,5σ = 9n = 36α = 0,10
1 − β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: OR = 0,5
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 71/149 = 0,4765
Kontrollen: 176/184 = 0,9565
Odds Ratio
OR = (71·184)/(176·149) = 0,4982 ≈ 0,5
Antwort
OR = 0,5
OR unter 1: Die Exposition ist bei den Fällen seltener, was auf einen Schutzeffekt hindeutet.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NPV = 99,8 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Negative (pro Person)
Sp·(1 − p) = 0,96·0,99 = 0,9504
(1 − Se)·p = 0,18·0,01 = 0,0018
Negativer prädiktiver Wert
NPV = 0,9504/(0,9504 + 0,0018) = 0,9981 ≈ 99,8%
Antwort
NPV = 99,8%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 19,03
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (97,5 − 100)/5 = −0,5
Antwort
z = −0,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 15,25
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/25) = 2,629
Neue Fehlermarge
E₂ = 5,8·2,629 = 15,25
Antwort
E₂ = 15,25
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 693
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,645²·0,8·0,2/0,025² = 692,7
Aufrunden
n = 693
Antwort
n = 693
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,62
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Teststatistik
t = (500,9 − 500)/0,5556 = 1,62
Antwort
t = 1,62
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: 1 − β = 95,71 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).