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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 230 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 720 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 114b = 274c = 116d = 446
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 25 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 80 % und einer Spezifität von 77 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 25%Se = 80%Sp = 77%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 16, 38, 19, 29, 54.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 35,6.
μ = 50σ = 12x = 35,6
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 16 Elementen hat den Mittelwert 82 und die Standardabweichung s = 8,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 16x̄ = 82s = 8,595%t(15) = 2,131
obere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,15 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,01 hat?
p ≈ 0,15E = 0,0195%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 95,87 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 95,87s = 8n = 36
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 16 Messungen hat den Mittelwert 499. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 4. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 499σ = 4n = 1695%
L =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: OR = 1,6
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 114/116 = 0,9828
Kontrollen: 274/446 = 0,6143
Odds Ratio
OR = (114·446)/(274·116) = 1,6
Antwort
OR = 1,6
OR über 1: Die Exposition ist bei den Fällen häufiger.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 53,7 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,8/(1 − 0,77) = 3,478
Vortest-Odds
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Nachtest-Odds
0,3333·3,478 = 1,159
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 1,159/(1 + 1,159) = 0,5369 ≈ 53,7%
Antwort
p′ = 53,7%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,42
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (35,6 − 50)/12 = −1,2
Antwort
z = −1,2
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 86,53
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Fehlermarge
E = 2,131·8,5/√16 = 4,528
Intervall
82 ± 4,528 → [77,47, 86,53]
Antwort
obere Grenze = 86,53
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 4899
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,96²·0,15·0,85/0,01² = 4898
Aufrunden
n = 4899
Antwort
n = 4899
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −3,097
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Teststatistik
t = (95,87 − 100)/1,333 = −3,097
Antwort
t = −3,097
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 497
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).