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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 2100 Personenjahre mit 38 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 4000 Personenjahre mit 48 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
exponiert: 38/2100 PYnicht exponiert: 48/4000 PY
IRR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 86 % und einer Spezifität von 82 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 13 %. Wie viele falsch positive Ergebnisse FP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 13%Se = 86%Sp = 82%
FP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 22, 54, 29, 42, 28.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 20. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 44?
μ = 60σ = 20x = 44
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 7 Elementen hat den Mittelwert 58 und die Standardabweichung s = 6,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 7x̄ = 58s = 6,590%t(6) = 1,943
obere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 21 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 1,9 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 20 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 9,591 und 2,5 % über 34,17.
n = 21s = 1,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 80 Teilen hat die mittlere Länge 52 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 18 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat den Mittelwert 54,9 mm, bekannte Standardabweichung 15 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).
In einer Studie erholen sich 70 von 200 Patienten unter Behandlung A und 138 von 300 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 138n₂ = 300
z =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IRR = 1,51
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 38/2100 = 18,1 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 48/4000 = 12 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 18,1/12 = 1,508 ≈ 1,51
Antwort
IRR = 1,51
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FP = 1566
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,13 = 1300
10 000 − 1300 = 8700
Falsch Positive
FP = 8700·0,18 = 1566
Antwort
FP = 1566
Von den 2684 Positiven haben nur 1118 die Erkrankung (PPV 41,7 %).
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 12,88
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −0,8
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Antwort
P = 0,2119
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 62,77
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Fehlermarge
E = 1,943·6,5/√7 = 4,774
Intervall
58 ± 4,774 → [53,23, 62,77]
Antwort
obere Grenze = 62,77
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 1,454 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 20·1,9² = 72,2
Grenzen für σ²
72,2/34,17 = 2,113
72,2/9,591 = 7,528
Grenze für σ
σ = √2,113 = 1,454 µm
Antwort
σ = 1,454 µm
95-%-Intervall für σ: [1,454, 2,744] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = −0,9918
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standardfehler der Differenz
SE = √(18²/80 + 15²/50) = √8,55 = 2,924
Teststatistik
z = (52 − 54,9)/2,924 = −0,9918
Antwort
z = −0,9918
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = −2,445
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 70/200 = 0,35
p̂₂ = 138/300 = 0,46
p̂ = 208/500 = 0,416
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,416·0,584·(1/200 + 1/300)) = 0,04499
Teststatistik
z = (0,35 − 0,46)/0,04499 = −2,445
Antwort
z = −2,445
|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.