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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 380 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 160 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 163b = 51c = 217d = 109
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 50 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 74 % und einer Spezifität von 92 % fällt negativ aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 50%Se = 74%Sp = 92%negativ
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 19, 20, 47, 14, 21, 35, 55.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 90,4?
μ = 100σ = 12x = 90,4
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 64 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 2,2. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 90-%-Intervalls aus denselben Daten?
99%n₁ = 64E₁ = 2,290%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 21 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 11,6 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 20 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 9,591 und 2,5 % über 34,17.
n = 21s = 11,6 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 200,8 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 4n = 100
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 100 Messungen hat den Mittelwert 497,8. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 8. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 497,8σ = 8n = 10095%
L =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: OR = 1,61
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 163/217 = 0,7512
Kontrollen: 51/109 = 0,4679
Odds Ratio
OR = (163·109)/(51·217) = 1,605 ≈ 1,61
Antwort
OR = 1,61
OR über 1: Die Exposition ist bei den Fällen häufiger.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 22 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR− = (1 − 0,74)/0,92 = 0,2826
Vortest-Odds
0,5/(1 − 0,5) = 1
Nachtest-Odds
1·0,2826 = 0,2826
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 0,2826/(1 + 0,2826) = 0,2203 ≈ 22%
Antwort
p′ = 22%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,79
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −0,8
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Antwort
P = 0,2119
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 1,405
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Neue Fehlermarge
E₂ = 2,2·0,6386 = 1,405
Antwort
E₂ = 1,405
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 8,875 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 20·11,6² = 2691
Grenzen für σ²
2691/34,17 = 78,76
2691/9,591 = 280,6
Grenze für σ
σ = √78,76 = 8,875 µm
Antwort
σ = 8,875 µm
95-%-Intervall für σ: [8,875, 16,75] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Teststatistik
t = (200,8 − 200)/0,4 = 2
Antwort
t = 2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 496,2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).