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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 5300 Personenjahre mit 215 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 800 Personenjahre mit 22 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
exponiert: 215/5300 PYnicht exponiert: 22/800 PY
IRR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 45 % (RRR = 45 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 31 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 45%CER = 31%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 53, 52, 56, 16, 52, 27.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 20. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 112.
μ = 100σ = 20x = 112
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 7 Elementen hat den Mittelwert 50,5 und die Standardabweichung s = 11. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 7x̄ = 50,5s = 1195%t(6) = 2,447
E =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
12 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −6,55 und die Standardabweichung der Differenzen 8,1. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −6,55sd = 8,1
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 3 Einheiten mit einer Teststärke von 95 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 21. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 215/5300 = 40,57 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 22/800 = 27,5 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 40,57/27,5 = 1,475 ≈ 1,48
Antwort
IRR = 1,48
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 8
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,31·0,45 = 0,1395
Number needed to treat
NNT = 1/0,1395 = 7,168 → 8
Antwort
NNT = 8
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,82
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (112 − 100)/20 = 0,6
Antwort
z = 0,6
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 10,17
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Fehlermarge
E = 2,447·11/√7 = 10,17
Antwort
E = 10,17
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1537
Konfidenzintervall für einen Anteil: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), mit p̂ = x/n. Für eine Fehlermarge E braucht man n ≥ z²·p(1 − p)/E², aufgerundet; ohne vorherige Schätzung verwende p = 0,5, das ergibt das größte n.
Nach n auflösen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Aufrunden
n = 1537
Antwort
n = 1537
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −2,801
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 8,1/√12 = 2,338
Teststatistik
t = −6,55/2,338 = −2,801
Antwort
t = −2,801
Bei df = 11 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,201; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 531
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.