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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 560 Patienten eine neue Behandlung und 170 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die Number needed to treat NNT, um ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 122/560Kontrolle: 53/170
NNT =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 23 % (RRR = 23 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 14 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 23%CER = 14%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 10, 57, 39, 53, 38.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 15. Welcher Anteil P der Werte liegt über 88,75?
μ = 70σ = 15x = 88,75
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 16 Elementen hat den Mittelwert 67 und die Standardabweichung s = 10,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 16x̄ = 67s = 10,595%t(15) = 2,131
E =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 9 Parzellen, mittlerer Ertrag 35,5 kg, Standardabweichung 3,5 kg. Parzellengruppe 2: 5 Parzellen, Mittelwert 42 kg, Standardabweichung 7 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 11 Studierende, mittlere Punktzahl 79,5, Standardabweichung 2. Gruppe 2: 10 Studierende, mittlere Punktzahl 84,7, Standardabweichung 7,5. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).
n₁ = 11x̄₁ = 79,5s₁ = 2n₂ = 10x̄₂ = 84,7s₂ = 7,5
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 36 Messungen hat den Mittelwert 51,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 5. Bestimme die obere Grenze U des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 51,6σ = 5n = 3699%
U =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 11
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 122/560 = 0,2179
CER = 53/170 = 0,3118
Number needed to treat
ARR = 0,3118 − 0,2179 = 0,09391
NNT = 1/0,09391 = 10,65 → 11
Antwort
NNT = 11
Die Behandlung von 11 Patienten verhindert etwa ein Ereignis.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 32
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,14·0,23 = 0,0322
Number needed to treat
NNT = 1/0,0322 = 31,06 → 32
Antwort
NNT = 32
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 18,45
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 1,25
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Antwort
P = 0,1056
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,594
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Fehlermarge
E = 2,131·10,5/√16 = 5,594
Antwort
E = 5,594
6.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = −11,42 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (8·3,5² + 4·7²)/12 = 24,5
sp = 4,95
Fehlermarge
E = 1,782·4,95·√(1/9 + 1/5) = 4,92
Intervall
−6,5 ± 4,92 → [−11,42, −1,58]
Antwort
untere Grenze = −11,42 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −2,22
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolte Varianz
sp² = (10·2² + 9·7,5²)/19 = 28,75
sp = 5,362
Standardfehler
SE = 5,362·√(1/11 + 1/10) = 2,343
Teststatistik
t = (79,5 − 84,7)/2,343 = −2,22
Antwort
t = −2,22
Bei df = 19 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,093; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: U = 53,75
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).