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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 150 Patienten eine neue Behandlung und 280 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe eine Nebenwirkung hatten. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen behandelt werden, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 23/150Kontrolle: 34/280
NNH =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 24 % (RRR = 24 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 39 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 24%CER = 39%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 23, 41, 53, 33, 29, 49.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 40. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 452?
μ = 500σ = 40x = 452
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 21 Elementen hat den Mittelwert 15 und die Standardabweichung s = 5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 21x̄ = 15s = 590%t(20) = 1,725
obere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 11 Parzellen, mittlerer Ertrag 74 kg, Standardabweichung 7 kg. Parzellengruppe 2: 11 Parzellen, Mittelwert 69 kg, Standardabweichung 1 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 122,9 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,9s = 8n = 64
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
In einer Studie erholen sich 105 von 150 Patienten unter Behandlung A und 60 von 80 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 60n₂ = 80
z =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 32
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 23/150 = 0,1533
CER = 34/280 = 0,1214
Number needed to harm
ARI = 0,1533 − 0,1214 = 0,0319
NNH = 1/0,0319 = 31,34 → 32
Antwort
NNH = 32
Etwa einer von 32 behandelten Patienten hat die Nebenwirkung aufgrund der Behandlung.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 11
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,39·0,24 = 0,0936
Number needed to treat
NNT = 1/0,0936 = 10,68 → 11
Antwort
NNT = 11
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 11,71
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −1,2
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Antwort
P = 0,1151
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 16,88
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Fehlermarge
E = 1,725·5/√21 = 1,882
Intervall
15 ± 1,882 → [13,12, 16,88]
Antwort
obere Grenze = 16,88
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 3,678 kg
Intervall für eine Differenz: Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler. Für zwei unabhängige Mittelwerte mit bekanntem σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) und z. Bei gleichen unbekannten Varianzen: gepooltes s_p und t mit n₁ + n₂ − 2 Freiheitsgraden. Bei verbundenen Daten rechnet man mit den Differenzen: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (10·7² + 10·1²)/20 = 25
sp = 5
Fehlermarge
E = 1,725·5·√(1/11 + 1/11) = 3,678
Antwort
E = 3,678 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2,9
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Teststatistik
t = (122,9 − 120)/1 = 2,9
Antwort
t = 2,9
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = −0,8021
Hypothesentest: Teststatistik = (Schätzwert − Wert unter H₀)/(Standardfehler unter H₀). Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Annahme, dass H₀ wahr ist, für eine Statistik, die mindestens so extrem ist wie die beobachtete: die Fläche in einem Ende bei einseitiger H₁, die doppelte Endfläche bei zweiseitiger H₁. Verwirf H₀, wenn p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 105/150 = 0,7
p̂₂ = 60/80 = 0,75
p̂ = 165/230 = 0,7174
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,7174·0,2826·(1/150 + 1/80)) = 0,06234
Teststatistik
z = (0,7 − 0,75)/0,06234 = −0,8021
Antwort
z = −0,8021
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.