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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 620 Patienten eine neue Behandlung und 500 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die relative Risikoreduktion RRR als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Behandlung: 40/620Kontrolle: 40/500
RRR = %
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ohne Arzneimittel haben 35 % der Patienten innerhalb eines Jahres eine bestimmte Nebenwirkung. Das Arzneimittel erhöht dieses Risiko mit einem relativen Risiko von RR = 1,43. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen das Arzneimittel ein Jahr lang einnehmen, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Kontrolle 35%RR = 1,43
NNH =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 29, 28, 14, 19, 17.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 60. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 452.
μ = 500σ = 60x = 452
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 11 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 1,4 und die Standardabweichung 3,8. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 11d̄ = 1,4sd = 3,895%t(10) = 2,228
obere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 7 Parzellen, mittlerer Ertrag 38 kg, Standardabweichung 3,5 kg. Parzellengruppe 2: 5 Parzellen, Mittelwert 46,5 kg, Standardabweichung 4,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 56 und eine Stichproben-Standardabweichung von 20. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 56s = 20n = 64
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
In einer Studie erholen sich 113 von 250 Patienten unter Behandlung A und 46 von 80 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 46n₂ = 80
z =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: RRR = 19,4 %
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 40/620 = 0,06452
CER = 40/500 = 0,08
Relative Risikoreduktion
ARR = 0,08 − 0,06452 = 0,01548
RRR = 0,01548/0,08 = 0,1935 ≈ 19,4%
Antwort
RRR = 19,4%
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 7
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Risiko mit dem Arzneimittel
0,35·1,43 = 0,5005
Absolute Risikozunahme
ARI = 0,5005 − 0,35 = 0,1505
Number needed to harm
NNH = 1/0,1505 = 6,645 → 7
Antwort
NNH = 7
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 6,731
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (452 − 500)/60 = −0,8
Antwort
z = −0,8
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 3,953 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 10, t = 2,228
Fehlermarge
E = 2,228·3,8/√11 = 2,553
Intervall
1,4 ± 2,553 → [−1,153, 3,953]
Antwort
obere Grenze = 3,953 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = −4,33 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (6·3,5² + 4·4,5²)/10 = 15,45
sp = 3,931
Fehlermarge
E = 1,812·3,931·√(1/7 + 1/5) = 4,17
Intervall
−8,5 ± 4,17 → [−12,67, −4,33]
Antwort
obere Grenze = −4,33 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2,4
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Teststatistik
t = (56 − 50)/2,5 = 2,4
Antwort
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = −1,916
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 113/250 = 0,452
p̂₂ = 46/80 = 0,575
p̂ = 159/330 = 0,4818
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,4818·0,5182·(1/250 + 1/80)) = 0,06418
Teststatistik
z = (0,452 − 0,575)/0,06418 = −1,916
Antwort
z = −1,916
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.