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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 1400 Personenjahre mit 105 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 6000 Personenjahre mit 150 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Behandlung senkt das Risiko für ein Ereignis relativ um 25 % (RRR = 25 %). In einer Patientengruppe beträgt das Risiko ohne Behandlung (CER) 14 % über fünf Jahre. Bestimme die Number needed to treat NNT, um über fünf Jahre ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
RRR = 25%CER = 14%
NNT =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 11, 54, 40, 24, 45, 29.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 15. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 52,5.
μ = 60σ = 15x = 52,5
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 11 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert −5,3 und die Standardabweichung 5,7. Bestimme die Fehlermarge E des 99-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 11d̄ = −5,3sd = 5,799%t(10) = 3,169
E = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 38. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat?
σ = 38E = 0,595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 16 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 124,5 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 124,5s = 15n = 16
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2 hat? Die Standardabweichung ist 20. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 20E = 295%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IRR = 3
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 105/1400 = 75 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 150/6000 = 25 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 75/25 = 3
Antwort
IRR = 3
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 29
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,14·0,25 = 0,035
Number needed to treat
NNT = 1/0,035 = 28,57 → 29
Antwort
NNT = 29
Derselbe relative Effekt ergibt eine kleinere NNT, wenn das Ausgangsrisiko höher ist.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,56
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (52,5 − 60)/15 = −0,5
Antwort
z = −0,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,446 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 10, t = 3,169
Fehlermarge
E = 3,169·5,7/√11 = 5,446
Antwort
E = 5,446 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 22190
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,96·38/0,5)² = 22189
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 22190
Antwort
n = 22190
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Teststatistik
t = (124,5 − 120)/3,75 = 1,2
Antwort
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 385
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).