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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 540 Patienten eine neue Behandlung und 850 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die Number needed to treat NNT, um ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 30/540Kontrolle: 119/850
NNT =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 72 % und einer Spezifität von 98 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 3 %. Wie viele richtig positive Ergebnisse TP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 3%Se = 72%Sp = 98%
TP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 42, 15, 55, 51, 31, 28.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 54.
μ = 50σ = 10x = 54
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 11 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 7,3 und die Standardabweichung 4,4. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 11d̄ = 7,3sd = 4,490%t(10) = 1,812
untere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 9 Parzellen, mittlerer Ertrag 91,5 kg, Standardabweichung 8 kg. Parzellengruppe 2: 7 Parzellen, Mittelwert 96,5 kg, Standardabweichung 6,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 98,6 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,6s = 8n = 64
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 49 Messungen hat den Mittelwert 97,9. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 15. Bestimme die obere Grenze U des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 97,9σ = 15n = 4995%
U =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 12
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 30/540 = 0,05556
CER = 119/850 = 0,14
Number needed to treat
ARR = 0,14 − 0,05556 = 0,08444
NNT = 1/0,08444 = 11,84 → 12
Antwort
NNT = 12
Die Behandlung von 12 Patienten verhindert etwa ein Ereignis.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: TP = 216
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,03 = 300
10 000 − 300 = 9700
Richtig Positive
TP = 300·0,72 = 216
Antwort
TP = 216
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,14
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (54 − 50)/10 = 0,4
Antwort
z = 0,4
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = 4,896 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 10, t = 1,812
Fehlermarge
E = 1,812·4,4/√11 = 2,404
Intervall
7,3 ± 2,404 → [4,896, 9,704]
Antwort
untere Grenze = 4,896 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 2,993 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (8·8² + 6·6,5²)/14 = 54,68
sp = 7,394
Fehlermarge
E = 2,145·7,394·√(1/9 + 1/7) = 7,993
Intervall
−5 ± 7,993 → [−12,99, 2,993]
Antwort
obere Grenze = 2,993 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −1,4
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Teststatistik
t = (98,6 − 100)/1 = −1,4
Antwort
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: U = 102,1
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).