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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 240 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 650 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 10b = 65c = 230d = 585
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 25 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 88 % und einer Spezifität von 92 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 25%Se = 88%Sp = 92%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 54, 18, 57, 54, 10.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 155,6.
μ = 170σ = 12x = 155,6
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 8 Elementen hat den Mittelwert 22,5 und die Standardabweichung s = 12. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 8x̄ = 22,5s = 1290%t(7) = 1,895
obere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 16 Parzellen, mittlerer Ertrag 56,5 kg, Standardabweichung 8,5 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 48,5 kg, Standardabweichung 5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 50 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 24. Eine Zufallsstichprobe von 144 Beobachtungen hat den Mittelwert 46,88. Teste H₀: μ = 50 gegen H₁: μ ≠ 50. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 50σ = 24n = 144x̄ = 46,88H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1 hat? Die Standardabweichung ist 12. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 12E = 199%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: OR = 0,39
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 10/230 = 0,04348
Kontrollen: 65/585 = 0,1111
Odds Ratio
OR = (10·585)/(65·230) = 0,3913 ≈ 0,39
Antwort
OR = 0,39
OR unter 1: Die Exposition ist bei den Fällen seltener, was auf einen Schutzeffekt hindeutet.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 78,6 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,88/(1 − 0,92) = 11
Vortest-Odds
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Nachtest-Odds
0,3333·11 = 3,667
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 3,667/(1 + 3,667) = 0,7857 ≈ 78,6%
Antwort
p′ = 78,6%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 22,67
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (155,6 − 170)/12 = −1,2
Antwort
z = −1,2
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 30,54
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Fehlermarge
E = 1,895·12/√8 = 8,04
Intervall
22,5 ± 8,04 → [14,46, 30,54]
Antwort
obere Grenze = 30,54
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 7,763 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (15·8,5² + 5·5²)/20 = 60,44
sp = 7,774
Fehlermarge
E = 2,086·7,774·√(1/16 + 1/6) = 7,763
Antwort
E = 7,763 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,1188
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (46,88 − 50)/2 = −1,56
Endfläche
Φ(1,56) = 0,9406
1 − Φ(1,56) = 0,0594
p-Wert
p = 2·0,0594 = 0,1188
Antwort
p = 0,1188
p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 956
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).