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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 700 Personenjahre mit 9 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 4300 Personenjahre mit 116 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
exponiert: 9/700 PYnicht exponiert: 116/4300 PY
IRR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 78 % und einer Spezifität von 91 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 15 %. Wie viele Erkrankte werden vom Test übersehen (falsch Negative, FN)?
N = 10 000p = 15%Se = 78%Sp = 91%
FN =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 21, 29, 52, 31, 54, 43, 33.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 15. Welcher Anteil P der Werte liegt über 58?
μ = 70σ = 15x = 58
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 30 Handys, Mittelwert 83 h, bekannte Standardabweichung 17 h. Modell 2: 30 Handys, Mittelwert 84 h, bekannte Standardabweichung 12 h. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 504,3 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,3s = 15n = 36
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 4 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 11. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 9/700 = 12,86 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 116/4300 = 26,98 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 12,86/26,98 = 0,4766 ≈ 0,48
Antwort
IRR = 0,48
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FN = 330
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,15 = 1500
10 000 − 1500 = 8500
Falsch Negative
FN = 1500·0,22 = 330
Antwort
FN = 330
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 12,38
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −0,8
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Antwort
P = 0,7881
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 7,446 h
Intervall für eine Differenz: Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler. Für zwei unabhängige Mittelwerte mit bekanntem σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) und z. Bei gleichen unbekannten Varianzen: gepooltes s_p und t mit n₁ + n₂ − 2 Freiheitsgraden. Bei verbundenen Daten rechnet man mit den Differenzen: d̄ ± t·s_d/√n.
Punktschätzer
x̄₁ − x̄₂ = 83 − 84 = −1
Standardfehler
SE = √(17²/30 + 12²/30) = 3,799
Fehlermarge
E = 1,96·3,799 = 7,446
Antwort
E = 7,446 h
Das Intervall enthält die 0, die Daten zeigen also keinen signifikanten Unterschied.
6.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 2,773 kg
Intervall für eine Differenz: Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler. Für zwei unabhängige Mittelwerte mit bekanntem σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) und z. Bei gleichen unbekannten Varianzen: gepooltes s_p und t mit n₁ + n₂ − 2 Freiheitsgraden. Bei verbundenen Daten rechnet man mit den Differenzen: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (11·7,5² + 13·5,5²)/24 = 42,17
sp = 6,494
Fehlermarge
E = 2,064·6,494·√(1/12 + 1/14) = 5,273
Intervall
−2,5 ± 5,273 → [−7,773, 2,773]
Antwort
obere Grenze = 2,773 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,72
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Teststatistik
t = (504,3 − 500)/2,5 = 1,72
Antwort
t = 1,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 47
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.