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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Test hat eine Sensitivität von 64 % und eine Spezifität von 61 %. Bestimme die positive Likelihood-Ratio LR+. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Se = 64%Sp = 61%
LR+ =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 40 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 79 % und einer Spezifität von 97 % fällt negativ aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 40%Se = 79%Sp = 97%negativ
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 54, 24, 28, 40, 28.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 75. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 593,8.
μ = 500σ = 75x = 593,8
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 15 Elementen hat den Mittelwert 75 und die Standardabweichung s = 16. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 15x̄ = 75s = 1690%t(14) = 1,761
E =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 25 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 6,9 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 24 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 12,401 und 2,5 % über 39,364.
n = 25s = 6,9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
10 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −0,74 und die Standardabweichung der Differenzen 2,6. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −0,74sd = 2,6
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 95 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 20. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Positive Likelihood-Ratio
LR+ = 0,64/(1 − 0,61) = 1,641 ≈ 1,64
Antwort
LR+ = 1,64
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 12,6 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR− = (1 − 0,79)/0,97 = 0,2165
Vortest-Odds
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Nachtest-Odds
0,6667·0,2165 = 0,1443
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 0,1443/(1 + 0,1443) = 0,1261 ≈ 12,6%
Antwort
p′ = 12,6%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 12,3
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (593,8 − 500)/75 = 1,25
Antwort
z = 1,25
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 7,275
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Fehlermarge
E = 1,761·16/√15 = 7,275
Antwort
E = 7,275
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 5,388 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 24·6,9² = 1143
Grenzen für σ²
1143/39,364 = 29,03
1143/12,401 = 92,14
Grenze für σ
σ = √29,03 = 5,388 µm
Antwort
σ = 5,388 µm
95-%-Intervall für σ: [5,388, 9,599] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −0,9
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 2,6/√10 = 0,8222
Teststatistik
t = −0,74/0,8222 = −0,9
Antwort
t = −0,9
Bei df = 9 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,262; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 174
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.