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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 150 Patienten eine neue Behandlung und 720 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die relative Risikoreduktion RRR als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Behandlung: 16/150Kontrolle: 187/720
RRR = %
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ohne Arzneimittel haben 17 % der Patienten innerhalb eines Jahres eine bestimmte Nebenwirkung. Das Arzneimittel erhöht dieses Risiko mit einem relativen Risiko von RR = 2,29. Bestimme die Number needed to harm NNH: Wie viele Patienten müssen das Arzneimittel ein Jahr lang einnehmen, damit ein zusätzlicher Patient die Nebenwirkung hat? Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Kontrolle 17%RR = 2,29
NNH =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 33, 40, 39, 45, 10, 11.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 30?
μ = 50σ = 10x = 30
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 6 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert −8,1 und die Standardabweichung 6,7. Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 6d̄ = −8,1sd = 6,799%t(5) = 4,032
obere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 32. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?
σ = 32E = 2,599%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
11 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −1,48 und die Standardabweichung der Differenzen 4,9. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −1,48sd = 4,9
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 100 gegen H₁: μ > 100 wird bei α = 0,01 mit einer Stichprobe von 25 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 12,5. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 107,5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.
μ₀ = 100μ = 107,5σ = 12,5n = 25α = 0,01
β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: RRR = 58,9 %
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 16/150 = 0,1067
CER = 187/720 = 0,2597
Relative Risikoreduktion
ARR = 0,2597 − 0,1067 = 0,1531
RRR = 0,1531/0,2597 = 0,5893 ≈ 58,9%
Antwort
RRR = 58,9%
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNH = 5
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Risiko mit dem Arzneimittel
0,17·2,29 = 0,3893
Absolute Risikozunahme
ARI = 0,3893 − 0,17 = 0,2193
Number needed to harm
NNH = 1/0,2193 = 4,56 → 5
Antwort
NNH = 5
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,33
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −2
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Antwort
P = 0,9772
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 2,929 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 5, t = 4,032
Fehlermarge
E = 4,032·6,7/√6 = 11,03
Intervall
−8,1 ± 11,03 → [−19,13, 2,929]
Antwort
obere Grenze = 2,929 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1088
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (2,576·32/2,5)² = 1087
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 1088
Antwort
n = 1088
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −1,002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 4,9/√11 = 1,477
Teststatistik
t = −1,48/1,477 = −1,002
Antwort
t = −1,002
Bei df = 10 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,228; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: β = 25,02 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).