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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 4700 Personenjahre mit 176 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 1200 Personenjahre mit 30 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
exponiert: 176/4700 PYnicht exponiert: 30/1200 PY
IRR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 90 % und eine Spezifität von 98 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 0,5 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 90%Sp = 98%p = 0,5%
PPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 42, 54, 43, 20, 19, 58, 29.
n = 7
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 160.
μ = 170σ = 10x = 160
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 40 Handys, Mittelwert 141,5 h, bekannte Standardabweichung 9 h. Modell 2: 30 Handys, Mittelwert 154 h, bekannte Standardabweichung 4 h. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 98,13 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,13s = 8n = 36
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
In einer Studie erholen sich 32 von 80 Patienten unter Behandlung A und 58 von 200 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 58n₂ = 200
z =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IRR = 1,5
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 176/4700 = 37,45 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 30/1200 = 25 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 37,45/25 = 1,498 ≈ 1,5
Antwort
IRR = 1,5
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: PPV = 18,4 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Positive (pro Person)
Se·p = 0,9·0,005 = 0,0045
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,02·0,995 = 0,0199
Positiver prädiktiver Wert
PPV = 0,0045/(0,0045 + 0,0199) = 0,1844 ≈ 18,4%
Antwort
PPV = 18,4%
Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,61
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (160 − 170)/10 = −1
Antwort
z = −1
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = −9,365 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Punktschätzer
x̄₁ − x̄₂ = 141,5 − 154 = −12,5
Standardfehler
SE = √(9²/40 + 4²/30) = 1,599
Fehlermarge
E = 1,96·1,599 = 3,135
Intervall
−12,5 ± 3,135 → [−15,63, −9,365]
Antwort
obere Grenze = −9,365 h
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
6.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 3,604 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolte Standardabweichung
sp² = (7·6² + 12·1,5²)/19 = 14,68
sp = 3,832
Fehlermarge
E = 2,093·3,832·√(1/8 + 1/13) = 3,604
Antwort
E = 3,604 kg
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −1,403
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Teststatistik
t = (98,13 − 100)/1,333 = −1,403
Antwort
t = −1,403
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = 1,78
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 58/200 = 0,29
p̂ = 90/280 = 0,3214
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,3214·0,6786·(1/80 + 1/200)) = 0,06178
Teststatistik
z = (0,4 − 0,29)/0,06178 = 1,78
Antwort
z = 1,78
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.