Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 30 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 8 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.
Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 3 m von A. Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 2 m von der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax in Feldmitte.
Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 125 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/250 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe hreq.
Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.
Eine Platte von 100 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 195 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 190 mm Breite und 14 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 340 mm und einen Steg mit 8 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 100 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σj am Übergang vom Steg zum Obergurt.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
Eine 6 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,25, Cr = 0,06 und e₀ = 0,95. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 110 kPa und die Vorbelastungsspannung 220 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 150 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
Eine 4 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert cv = 3 m²/Jahr. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Für 70 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor Tv = 0,403. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 70 % Konsolidation zu erreichen?
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,9 m/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 200 L/s beträgt?
Ein Trapezgerinne (sauberes Erdreich) hat eine Sohlbreite von 4,5 m und eine Böschungsneigung von 2:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 0,9 m tief. Manning n = 0,022, und das Sohlgefälle ist S = 0,0005. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
Ein 4,5 m breites Rechteckgerinne (sauberes Erdreich) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 0,6 m 2,4 m³/s abführen. Manning n = 0,022. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).
In einem Versuch fördert eine Pumpe 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 34 m, während ihre Welle 9,3 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Eine Pumpe fördert 12 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 11 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €8 000, 8 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.
Ein Darlehen von €15 000 wird über 3 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?
Ein Projekt kostet heute €400 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €29 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 2 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €15 000, €11 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 82,75 und 103,75 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.
Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 85 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.
Antwort: RA = −11,88 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
RA ist negativ: Das Festlager in A muss den Balken nach unten halten.
Antwort: RA = 16,88 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Antwort: FAB = −14,28 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
Antwort: Stab CG
Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.
BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.
Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).
Antwort: Mx = −56 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.
Antwort: Mx = 45 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
Antwort: δmax = 45,12 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: hreq = 264 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.
Antwort: Pcr = 12,34 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.
Antwort: σcr = 27,76 MPa
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.
Antwort: Ix = 218 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Antwort: σj = 96,49 MPa
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
Beide Aussparungen zusammen sind (B − tw) breit und hw = H − 2tf hoch und haben die Achse x gemeinsam.
Antwort: σ′ = 67,76 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: σ′ = 84,67 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: S = 111,4 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
Antwort: t = 2,149 Jahre
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Antwort: F = 73,58 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 1,722 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: hf = 8,573 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Antwort: H = 5,345 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
Antwort: Q = 4,391 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Antwort: S = 0,001036 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Das ist ein Gefälle von 1,036 m pro Kilometer.
Antwort: η = 71,73 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: Pshaft = 2,287 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: PV = 51706 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: I = 1281 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: NPV = −37500 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.
Antwort: IRR = 4,162 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: P = 0,4736
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: x = 542 h
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
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