Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 30 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine linear veränderliche Last, die an der Wand 8 kN/m beträgt und bis zum freien Ende B auf null abfällt, sowie eine Einzellast P im Abstand 2,5 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.
Bestimme die Querkraft Vx im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax in Feldmitte.
Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.
Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 140 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.
Eine Platte von 100 mm × 200 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 80 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σoben an der Oberkante.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
Eine 5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,35, Cr = 0,05 und e₀ = 0,8. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 65 kPa und die Vorbelastungsspannung 145 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 110 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
Eine 8 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert cv = 1,5 m²/Jahr. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Für 70 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor Tv = 0,403. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 70 % Konsolidation zu erreichen?
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser fließt mit 30 L/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 16 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 0,2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Ein Rechteckgerinne (Kies) ist 6 m breit. Wasser fließt gleichförmig 2 m tief. Manning n = 0,025, und das Sohlgefälle ist S = 0,002. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 375 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 1,2 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 65 % fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 12 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Eine Pumpe fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 23 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €5 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 4 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 10 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.
Du leihst dir €12 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €225 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.
Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €9 000, €12 000, €9 000, €8 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €3 000, €4 000, €3 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.
Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,9464 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.
Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 90 % von ihnen liegen (das 90. Perzentil).
Antwort: RB = 43,13 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Antwort: MA = 85,5 kN·m
Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.
Antwort: FAC = 18 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Antwort: Stab CG
Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.
FG und GH liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.
Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).
Antwort: Vx = 3 kN
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
Antwort: E (x = 8 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
Antwort: δmax = 7,937 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: δmax = 2,58 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: Pcr = 137,1 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.
Antwort: d = 126,7 mm
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 157,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.
Antwort: Ix = 66,33 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Antwort: σoben = 52,3 MPa
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.
Antwort: u = 29,43 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: σ′ = 68,76 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: S = 127,8 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
Antwort: t = 4,299 Jahre
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Antwort: F = 386,3 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 1,4 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: hf = 0,4264 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Antwort: Q = 411,4 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
Antwort: Q = 24,24 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Antwort: S = 0,005714 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Das ist ein Gefälle von 5,714 m pro Kilometer.
Antwort: Pshaft = 7,244 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: H = 27 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.
Antwort: PV = 83333 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: N = 59 Raten
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
58 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.
Antwort: NPV = 2342 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.
Antwort: MIRR = 3,983 %
Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Antwort: z = 1,93
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Finde 0,9732 in der Tabelle und lies z ab.
Antwort: x = 77,82 Punkte
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
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