Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 30 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 4,5 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.
Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine linear veränderliche Last, die an der Wand null ist und bis zum freien Ende B auf 10 kN/m ansteigt, sowie eine Einzellast P im Abstand 7 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.
Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.
Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.
Eine Platte von 200 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 210 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 35 MPa auf Zug und 100 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment Mallow, das der Träger aufnehmen kann.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.
Eine 5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,4, Cr = 0,04 und e₀ = 1,2. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 80 kPa und die Vorbelastungsspannung 200 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 150 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 19 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 15 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 5 m dicke Schicht. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,7 m/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 120 L/s beträgt?
Ein Rechteckgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) ist 2,5 m breit. Wasser fließt gleichförmig 1,6 m tief. Manning n = 0,03, und das Sohlgefälle ist S = 0,0015. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
Ein 4,5 m breites Rechteckgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 2 m 20 m³/s abführen. Manning n = 0,03. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).
In einem Versuch fördert eine Pumpe 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 70 m, während ihre Welle 42,9 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 11 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 3 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 100 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Eine Kreditkarte berechnet einen nominalen Zinssatz von 15 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Bestimme den effektiven Jahreszins EAR in Prozent.
Du sparst 7 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.
Eine Maschine kostet heute €80 000. Sie erwirtschaftet 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €13 000 und kann danach für €16 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €21 000, €29 500, €28 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 95,5 und 107,5 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.
Die Rundenzeit X von Läufer A und die Rundenzeit Y von Läufer B sind unabhängig und normalverteilt: X hat den Mittelwert 52 s und die Standardabweichung 4 s, Y hat den Mittelwert 48 s und die Standardabweichung 3 s. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X größer als Y ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Antwort: RA = −20,56 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
RA ist negativ: Das Festlager in A muss den Balken nach unten halten.
Antwort: MA = 318,3 kN·m
Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.
Antwort: FAC = 13,33 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Antwort: FAB = −29,7 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
Antwort: C (x = 4 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
Antwort: Mx = 25 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
Antwort: δ = 24,11 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: Ireq = 34,09 × 10⁶ mm⁴
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Antwort: Pcr = 55,56 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.
Antwort: σcr = 7,676 MPa
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.
Antwort: Ix = 447,4 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Antwort: Mallow = 10,45 kN·m
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
Positives Moment: oben Druck, unten Zug.
Antwort: σ′ = 65,38 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: u = 58,86 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
Antwort: S = 91,36 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
Antwort: t = 721,4 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
Antwort: F = 159,4 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 4,083 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: hf = 8,323 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Antwort: H = 6,732 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
Antwort: Q = 4,078 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Antwort: S = 0,004118 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Das ist ein Gefälle von 4,118 m pro Kilometer.
Antwort: η = 80,03 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: H = 25,99 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
Antwort: EAR = 15,87 %
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der effektive Jahreszins liegt immer über dem Nominalzins, wenn die Zinsen mehr als einmal im Jahr gutgeschrieben werden.
Antwort: FV = 30542 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Du hast selbst €25 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.
Antwort: NPV = −3182 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Antwort: IRR = 40,81 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: P = 0,3094
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: P = 0,7881
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
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