Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 42 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 3 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.
Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.
In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 20 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 100 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 200 mm verdrehen sich um 2,81° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.
Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 30 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 60 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 1° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
In einem Punkt gilt σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 45° im Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σy′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.
Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σvM.
Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.
Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft RB an der Stütze.
Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 50 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.
Ein Ball wird von ebenem Boden unter 55° zur Horizontalen abgeworfen und landet 130 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v0.
Ein Ball wird unter 20° zur Horizontalen von der Kante einer 15 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Block gleitet aus der Ruhe eine Schräge mit 45° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Bestimme seine Geschwindigkeit v, nachdem er 3 m entlang der Schräge gerutscht ist.
Ein Block mit 15 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 25° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 155 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,1. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 10 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Eine Masse von 10 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 10 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,3 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
Eine Masse von 20 kg hängt an der Feder k₃ = 60 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 40 kN/m und k₂ = 80 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 650 °C und einem kalten Reservoir mit 15 °C. Sie nimmt 3600 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.
Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 2800 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 350 °C auf, verrichtet 728 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 30 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie Sgen pro Zyklus.
Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.
Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 260 kPa und die Geschwindigkeit 1,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 200 mm auf 40 mm verengt und dabei um 7 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 340 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,4 m/s durch ein waagerechtes, 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
Ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 10). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 120 L/s beträgt?
Eine Pumpe fördert 10 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 20 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 70 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 94 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung Pel, die der Motor aufnimmt, in kW.
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 26 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 500 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 85 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Eine Wand besteht aus 100 mm Ziegel und 75 mm Holz, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 24 °C und 9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
Eine Wand aus 150 mm Beton und 100 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
Ein Motor mit 7,5 kW und 2900 rpm treibt ein Ritzel mit 18 Zähnen und dem Modul 2,5 mm an. Bestimme die Umfangskraft Ft an den Zähnen des Ritzels.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (20 Zähne) auf der Antriebswelle mit 1500 rpm das Rad B (45 Zähne) an. Rad C (40 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (50 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
F(s) = 23/(s² + 9s + 8). Ihre Rücktransformierte hat die Form f(t) = A·e−t + B·e−8t. Bestimme den Koeffizienten A mit der Partialbruchzerlegung.
Ein System gehorcht y″ + 7y′ + 10y = 10·u(t), mit y(0) = 5 und y′(0) = 0. Bei t = 0 wird ein Sprung u(t) = 1 auf den Eingang gegeben. Bestimme mit der Laplace-Transformation y(0,1).
Die Strecke G(s) = K/((s + 2)(s + 10)) liegt in einem Regelkreis mit Einheits-Gegenkopplung. Bestimme die Verstärkung K, für die der geschlossene Kreis aperiodisch gedämpft ist (aperiodischer Grenzfall, zwei gleiche reelle Pole).
Ein Proportionalregler K steuert die Strecke G(s) = 9/(s + 1) in einem Regelkreis mit Einheits-Gegenkopplung. Ein Störsprung der Größe 2 greift am Streckeneingang an, während R = 0 ist. Bestimme die kleinste Verstärkung K, die den stationären Ausgang bei höchstens 1,8 hält.
Ein System hat die Übertragungsfunktion G(s) = 45/(s² + 5s + 45) und erhält einen Einheitssprung am Eingang. Bestimme die 2-%-Ausregelzeit ts der Sprungantwort mit ts ≈ 4/(ζωₙ).
Ein Reihen-RLC-Kreis mit R = 14 Ω, L = 500 mH und C = 100 µF wird bei t = 0 an einen Sprung von 12 V angeschlossen. Der Kondensator ist ungeladen, und vor dem Sprung fließt kein Strom. Bestimme den Zeitpunkt tp des ersten Spannungsmaximums in ms.
Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat G(s) = K/((s + 4)(s + 5)). Bestimme die Verstärkung K, die für einen Sprung einen stationären Fehler von 25 % ergibt.
Ein PI-Regler C(s) = 1 + 2/s regelt die Strecke G(s) = 4/((s + 2)(s + 4)) in einem Regelkreis mit Einheitsrückführung. Bestimme den stationären Fehler ess für die Rampe r(t) = 1t.
Antwort: RA = 8,333 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Antwort: RB = 72 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Antwort: δ = 0,713 mm
Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).
E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.
Antwort: δ = 0,783 mm
Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.
Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.
Antwort: G = 25,96 GPa
Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.
Antwort: d = 34,36 mm
Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.
Hier ist die Steifigkeit maßgebend.
Antwort: E (x = 4 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
Antwort: E (x = 4 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
Antwort: σy′ = 105 MPa
Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.
Antwort: σvM = 72,11 MPa
Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σY erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σY/2 erreicht.
Antwort: δ = 8,696 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: RB = 21,88 kN
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Bei einem statisch unbestimmten Balken entfernt man ein überzähliges Lager und fordert dort die Durchbiegung null (Verträglichkeit).
Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.
Die Stützkraft RB allein hebt das freie Ende um RBL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.
Antwort: Pcr = 3,052 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.
Antwort: d = 48,84 mm
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 172, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.
Antwort: v0 = 36,84 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwort: t = 3,353 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: v = 5,77 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Der Block sinkt um d·sin θ, während die Reibung μmg·cos θ·d abzieht. Die Masse kürzt sich.
Antwort: v = 10,29 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: fd = 4,801 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 7,118 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
Antwort: Wmax = 2476 kJ
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Antwort: Sgen = 2,342 kJ/K
Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert QH/TH, das kalte Reservoir gewinnt QL/TL. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.
Sgen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.
Antwort: T3 = 2435 K
Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Antwort: wnet = 454,6 kJ/kg
Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.
Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 40,68%.
Antwort: p2 = 248,3 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
Antwort: p2 = 193,3 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
Antwort: Δp = 43,2 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Antwort: H = 2,923 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
Antwort: Pel = 2,982 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: Pshaft = 34,15 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Antwort: Q̇ = 103,4 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Antwort: U = 0,3594 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Antwort: Ft = 1098 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Antwort: nout = 533,3 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 2,813 : 1
Antwort: A = 3,286
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Multipliziere mit (s + 1) und setze s = −1: Der B-Term verschwindet.
Antwort: y(0.1) = 4,841
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Kontrolle: y(0) = A + B + C = 5.
Antwort: K = 16
Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Ein quadratisches Polynom s² + βs + γ hat eine doppelte Wurzel, wenn β² = 4γ gilt.
Antwort: K = 1
Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Antwort: ts = 1,6 s
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Der Nenner muss mit s² + 2ζωₙs + ωₙ² übereinstimmen.
Antwort: tp = 22,32 ms
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwort: K = 60
Stationärer Fehler: In einem Regelkreis mit Einheitsrückführung und der Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) ist der Fehler E(s) = R(s)/(1 + G(s)), und nach dem Endwertsatz gilt ess = lims→0 s·E(s). Der Systemtyp ist die Anzahl der Pole von G(s) bei s = 0. Die Fehlerkonstanten sind Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) und Ka = lim s²·G(s), jeweils für s → 0. Ein Sprung der Höhe A liefert ess = A/(1 + Kp), eine Rampe A·t liefert A/Kv und eine Parabel A·t²/2 liefert A/Ka. Ein Kreis vom Typ 0 folgt einem Sprung mit endlichem Fehler, ein Kreis vom Typ 1 folgt ihm exakt und einer Rampe mit endlichem Fehler.
Prüfe auch die Stabilität des geschlossenen Kreises: Für diesen Kreis zweiter Ordnung ist jedes K > 0 stabil.
Antwort: ess = 1
P-, PI- und PID-Regelung: Der Regler C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s wirkt auf den Regelfehler. Eine proportionale Verstärkung macht den Kreis schneller und verkleinert den Fehler einer Strecke vom Typ 0, beseitigt ihn aber nie. Der Integralanteil fügt einen Pol bei s = 0 hinzu: Der Systemtyp steigt um eins, und ein Sprung wird ohne Fehler verfolgt. Der Differenzialanteil erhöht die Dämpfung. Um die Verstärkungen zu wählen, schreibe das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζωns + ωn². Dann gilt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd mit ωd = ωn√(1 − ζ²) und ts ≈ 4/(ζωn).
s·C(s) = 1s + 2 → 2 für s → 0.
Der PI-Regler beseitigt den Sprungfehler vollständig; einer Rampe wird mit konstantem Nachlauf gefolgt.
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