Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt mit 21 L/s durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt. Der Druck im engen Abschnitt beträgt 150 kPa. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Druck p1 im weiten Abschnitt.
Q = 21 L/sd1 = 150 mmd2 = 100 mmp2 = 150 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 150 mm, Engstelle 75 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 340 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,95. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 340 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,7 m/s durch ein waagerechtes, 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
V = 1,7 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Ein 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 5). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 150 L/s beträgt?
Q = 150 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 10 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 54 m, während ihre Welle 7,1 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 10 L/sH = 54 mPshaft = 7,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 8 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 400 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6ptank = 400 kPa
H = m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 220,7 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN
Antwort
F = 220,7 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 2,939 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m
Antwort
ycp = 2,939 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p1 = 152,9 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Geschwindigkeiten
v1 = Q/A1 = 0,021/0,01767 = 1,188 m/s
v2 = Q/A2 = 0,021/0,007854 = 2,674 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 150 + ½·1000·(2,674² − 1,188²)/1000 = 150 + 2,869 = 152,9 kPa
Antwort
p1 = 152,9 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 39,74 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Druckdifferenz aus dem Manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa
Geschwindigkeit in der Engstelle
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·42026/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,469 m/s
Tatsächlicher Volumenstrom
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,004418·9,469 = 0,03974 m³/s = 39,74 L/s
Antwort
Q = 39,74 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δp = 134,9 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlusthöhe
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,3)·1,7²/(2·9,81) = 13,75 m
Druckverlust
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·13,75 = 134867 Pa = 134,9 kPa
Antwort
Δp = 134,9 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: H = 7,276 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7
Energiegleichung
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
H = (1 + 24 + 6,7)·0,2295 = 7,276 m
Antwort
H = 7,276 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 74,61 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·54 = 5,297 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 5,297/7,1 = 74,61%
Antwort
η = 74,61%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 54,48 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 6)·0,3305 = 5,701 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 40,77 + 5,701 = 54,48 m
Antwort
H = 54,48 m
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