Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 50 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 20 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 170 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 30 mm Durchmesser, 3,5 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten die Strahlgeschwindigkeit v. Verwende g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (Überdruck)h = 3,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 0,9 m/s durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 0,9 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 5). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 60 L/s beträgt?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 30 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 82 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 88 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 20 L/sH = 30 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 19 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 80 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 15 L/sΔz = 19 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 117,7 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Antwort

F = 117,7 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 88,29 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Antwort

F = 88,29 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 12,83 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·20000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,532 m/s

v₁ = 1,633 m/s

Volumenstrom

Q = A₂·v₂ = 0,001963·6,532 = 0,01283 m³/s = 12,83 L/s

Antwort

Q = 12,83 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 20,22 m/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·3,5)) = 20,22 m/s

Antwort

v = 20,22 m/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 0,3096 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,3)·0,9²/(2·9,81) = 0,3096 m

Antwort

h_f = 0,3096 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 4,387 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 16,5 + 6,1)·0,1859 = 4,387 m

Antwort

H = 4,387 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 8,157 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·30 = 5,886 kW

Wellenleistung

P_shaft = 5,886/0,82 = 7,178 kW

Elektrische Leistung

P_el = 7,178/0,88 = 8,157 kW

Antwort

P_el = 8,157 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 4,794 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,1859 = 7,065 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 19 + 7,065 = 26,06 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·26,06/0,8 = 4,794 kW

Antwort

P_shaft = 4,794 kW

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