Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 1,5 mH = 2 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 3 mH = 1,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
12d1​ = 200 mm, p1​ = 190 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 200 mm auf 100 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 190 kPa und die Geschwindigkeit 2,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 190 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 100 mm, p1​ = 270 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 100 mm auf 40 mm verengt und dabei um 1 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 270 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 270 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Q = 25 L/sD = 150 mmL = 100 mf = 0,028

Wasser fließt mit 25 L/s durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 0,2freier AuslaufH = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0,0254× Krümmer (K = 0,3)

Ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 0,2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 75 L/s beträgt?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 15 L/sH = 28 m

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 75 % fördert 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 28 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.

Q = 15 L/sH = 28 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
200 kPa (Überdruck)PQ = 50 L/sΔz = 12 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,02, ΣK = 2,5

Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 12 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 2,5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 200 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 2,5ptank = 200 kPa
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 49,05 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Schützd = 1,5 mH = 2 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Antwort

F = 49,05 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 165,5 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Schützd = 3 mH = 1,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Antwort

F = 165,5 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 152 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(200/100)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 190 + (−37,97) = 152 kPa

Antwort

p2 = 152 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 255,4 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−4,758) − 9,81 = 255,4 kPa

Antwort

p2 = 255,4 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: hf = 1,904 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 1,904 m

Antwort

hf = 1,904 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 0,6446 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 8,333 + 1,9)·0,05738 = 0,6446 m

Antwort

H = 0,6446 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: Pshaft = 5,494 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·28 = 4,12 kW

Wellenleistung

Pshaft = Ph/η = 4,12/0,75 = 5,494 kW

Antwort

Pshaft = 5,494 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 38,85 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 2,5)·0,408 = 6,461 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 20,39 + 6,461 = 38,85 m

Antwort

H = 38,85 m

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