Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 150 mm Eintrittsdurchmesser und 100 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 54 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 54 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein Schlauch mit 50 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 3 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 4 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den absoluten Druck pC im Punkt C. Der Atmosphärendruck beträgt 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +3 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,3 m/s durch ein 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 75 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 2,3 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe fördert 10 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 68 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 88 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung Pel, die der Motor aufnimmt, in kW.
Q = 10 L/sH = 68 mηpump = 75%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 17 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 250 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 294,3 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN
Antwort
F = 294,3 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 143,3 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4,75·3 = 143,3 kN
Antwort
F = 143,3 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 91,11 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·54000/(1000·(1 − 0,1975))) = 11,6 m/s
v1 = 5,156 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,007854·11,6 = 0,09111 m³/s = 91,11 L/s
Antwort
Q = 91,11 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: pC = 32,63 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Geschwindigkeit im Schlauch
Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.
v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Bernoulli vom Wasserspiegel bis C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,859²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa
Antwort
pC = 32,63 kPa
Fällt dieser Druck auf den Dampfdruck des Wassers, hört der Saugheber auf zu funktionieren.
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 25,88 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,075)·2,3²/(2·9,81) = 25,88 m
Antwort
hf = 25,88 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 0,5394 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Gesamte Verlusthöhe
hf = 5·0,05738 = 0,2869 m
hm = 4,4·0,05738 = 0,2525 m
Δz = hf + hm = 0,5394 m
Antwort
Δz = 0,5394 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pel = 10,11 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·68 = 6,671 kW
Wellenleistung
Pshaft = 6,671/0,75 = 8,894 kW
Elektrische Leistung
Pel = 8,894/0,88 = 10,11 kW
Antwort
Pel = 10,11 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 47,04 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 8)·0,1859 = 4,555 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 17 + 25,48 + 4,555 = 47,04 m
Antwort
H = 47,04 m
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