Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 1 mH = 2,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 2,5 mH = 1 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 49 kPaQ = ?

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 60 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 49 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 49 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 150 mm, p1​ = 270 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt und dabei um 10 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 270 kPa und die Geschwindigkeit 2,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 270 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 2,2 m/sD = 200 mmL = 150 mf = 0,025

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,2 m/s durch ein waagerechtes, 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 2,2 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 5Δz = ?L = 100 m, D = 250 mm, f = 0,0182× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 50 L/sH = 14 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 14 m, während ihre Welle 9,2 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 50 L/sH = 14 mPshaft = 9,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
350 kPa (Überdruck)PQ = 80 L/sΔz = 21 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 6

Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 21 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 350 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 55,18 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Schützd = 1 mH = 2,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·2,5 = 55,18 kN

Antwort

F = 55,18 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: ycp = 3,028 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Schützd = 2,5 mH = 1 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·2 = 60,33 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,1667/(3·2) = 3,028 m

Antwort

ycp = 3,028 m
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 30 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·49000/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,61 m/s
v1 = 3,82 m/s

Volumenstrom

Q = A2·v2 = 0,002827·10,61 = 0,03 m³/s = 30 L/s

Antwort

Q = 30 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 156,5 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(150/100)² = 6,188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−15,36) − 98,1 = 156,5 kPa

Antwort

p2 = 156,5 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 45,38 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,2)·2,2²/(2·9,81) = 4,625 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,625 = 45375 Pa = 45,38 kPa

Antwort

Δp = 45,38 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 1,936 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Gesamte Verlusthöhe

hf = 7,2·0,1354 = 0,9747 m
hm = 7,1·0,1354 = 0,9612 m
Δz = hf + hm = 1,936 m

Antwort

Δz = 1,936 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 74,64 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·14 = 6,867 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 6,867/9,2 = 74,64%

Antwort

η = 74,64%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 65,27 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,3305 = 8,593 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 35,68 + 8,593 = 65,27 m

Antwort

H = 65,27 m

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