Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 3 mH = 2,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 3 mH = 2,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Q = ?d = 25 mm, Cd​ = 0,65h = 4 m

Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 25 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 4 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,65. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 4 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 75 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 75 mm auf 50 mm verengt und dabei um 7 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 170 kPa und die Geschwindigkeit 1,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 170 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 1,2 m/sD = 300 mmL = 400 mf = 0,02

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,2 m/s durch ein waagerechtes, 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 1,2 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0252× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 30 L/sH = 66 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 30 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 66 m, während ihre Welle 23,7 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 30 L/sH = 66 mPshaft = 23,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
PQ = 120 L/sΔz = 10 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 8

Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 10 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 208,5 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Schützd = 3 mH = 2,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Antwort

F = 208,5 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 91,72 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Schützd = 3 mH = 2,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,25·2,5 = 91,72 kN

Antwort

F = 91,72 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 2,827 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ideale Strahlgeschwindigkeit

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0004909·8,859 = 0,002827 m³/s = 2,827 L/s

Antwort

Q = 2,827 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 98,16 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/50)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−3,174) − 68,67 = 98,16 kPa

Antwort

p2 = 98,16 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 19,2 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,3)·1,2²/(2·9,81) = 1,957 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,957 = 19200 Pa = 19,2 kPa

Antwort

Δp = 19,2 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 3,669 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·150/0,25 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Gesamte Verlusthöhe

hf = 15·0,1354 = 2,031 m
hm = 12,1·0,1354 = 1,638 m
Δz = hf + hm = 3,669 m

Antwort

Δz = 3,669 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 81,96 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·66 = 19,42 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 19,42/23,7 = 81,96%

Antwort

η = 81,96%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 16,82 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 8)·0,3046 = 6,823 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + hL = 10 + 6,823 = 16,82 m

Antwort

H = 16,82 m

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