Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 80 mm Eintrittsdurchmesser und 40 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 39 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 39 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 80 mm, Engstelle 40 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 210 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,95. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 210 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,2 m/s durch ein 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 2,2 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 82 % fördert 150 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 26 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 150 L/sH = 26 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 35 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 50 L/sΔz = 35 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 110,4 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN
Antwort
F = 110,4 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 51,8 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·2 = 51,8 kN
Antwort
F = 51,8 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 11,46 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(40/80)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·39000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,121 m/s
v1 = 2,28 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,001257·9,121 = 0,01146 m³/s = 11,46 L/s
Antwort
Q = 11,46 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 8,884 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Druckdifferenz aus dem Manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,21 = 25957 Pa
Geschwindigkeit in der Engstelle
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
β = 40/80 = 0,5
v2 = √(2·25957/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,441 m/s
Tatsächlicher Volumenstrom
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,001257·7,441 = 0,008884 m³/s = 8,884 L/s
Antwort
Q = 8,884 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 74,01 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 74,01 m
Antwort
hf = 74,01 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 10,5 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Gesamte Verlusthöhe
hf = 13,33·0,408 = 5,44 m
hm = 12,4·0,408 = 5,06 m
Δz = hf + hm = 10,5 m
Antwort
Δz = 10,5 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 46,66 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW
Wellenleistung
Pshaft = Ph/η = 38,26/0,82 = 46,66 kW
Antwort
Pshaft = 46,66 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 41,53 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,408 = 6,529 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.
H = Δz + hL = 35 + 6,529 = 41,53 m
Antwort
H = 41,53 m
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