Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 1 mH = 1 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 1,5 mH = 2 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 25 kPaQ = ?

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 60 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 25 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 25 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
C213 m4,5 md = 25 mmpC​ = ?

Ein Schlauch mit 25 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 3 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 4,5 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den absoluten Druck pC im Punkt C. Der Atmosphärendruck beträgt 101,3 kPa.

d = 25 mmzC = +3 mz2 = −4,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Q = 40 L/sD = 200 mmL = 1000 mf = 0,02

Wasser fließt mit 40 L/s durch ein 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.

Q = 40 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0,022× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 80 L/sH = 54 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 54 m, während ihre Welle 60,5 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 80 L/sH = 54 mPshaft = 60,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
400 kPa (Überdruck)PQ = 100 L/sΔz = 13 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0,025, ΣK = 6

Eine Pumpe fördert 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 13 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 400 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 400 kPa
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 44,15 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Schützd = 1 mH = 1 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Antwort

F = 44,15 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 50,28 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Schützd = 1,5 mH = 2 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,5·2 = 50,28 kN

Antwort

F = 50,28 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 21,43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·25000/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,579 m/s
v1 = 2,729 m/s

Volumenstrom

Q = A2·v2 = 0,002827·7,579 = 0,02143 m³/s = 21,43 L/s

Antwort

Q = 21,43 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: pC = 27,72 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Geschwindigkeit im Schlauch

Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 73,58 = 27,72 kPa

Antwort

pC = 27,72 kPa

Fällt dieser Druck auf den Dampfdruck des Wassers, hört der Saugheber auf zu funktionieren.

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: hf = 8,263 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 8,263 m

Antwort

hf = 8,263 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 3,127 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Gesamte Verlusthöhe

hf = 16·0,1354 = 2,166 m
hm = 7,1·0,1354 = 0,9612 m
Δz = hf + hm = 3,127 m

Antwort

Δz = 3,127 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 70,05 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·54 = 42,38 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 42,38/60,5 = 70,05%

Antwort

η = 70,05%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 61,39 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,2115 = 7,615 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 40,77 + 7,615 = 61,39 m

Antwort

H = 61,39 m

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