Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 50 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 9 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 100 mm auf 40 mm verengt und dabei um 8 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 190 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 190 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit 10 L/s durch ein 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 75 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

Q = 10 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 200 L/s beträgt?

Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 68 m, während ihre Welle 95,3 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 100 L/sH = 68 mP_shaft = 95,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 23 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 78 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 20 L/sΔz = 23 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 132,4 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Antwort

F = 132,4 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 4,667 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 3,375/(4,5·4,5) = 4,667 m

Antwort

y_cp = 4,667 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 8,604 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·9000/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,382 m/s

v₁ = 1,095 m/s

Volumenstrom

Q = A₂·v₂ = 0,001963·4,382 = 0,008604 m³/s = 8,604 L/s

Antwort

Q = 8,604 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 106,8 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−4,758) − 78,48 = 106,8 kPa

Antwort

p₂ = 106,8 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 97,49 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,01/0,004418 = 2,264 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,264²/(2·9,81) = 0,2611 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,075)·2,264²/(2·9,81) = 97,49 m

Antwort

h_f = 97,49 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 11,47 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 24 + 3,1)·0,408 = 11,47 m

Antwort

H = 11,47 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 70 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·68 = 66,71 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 66,71/95,3 = 70%

Antwort

η = 70%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 9,028 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0,3305 = 12,89 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 23 + 12,89 = 35,89 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·35,89/0,78 = 9,028 kW

Antwort

P_shaft = 9,028 kW

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