Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 200 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 200 mm auf 75 mm verengt und dabei um 3 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 230 kPa und die Geschwindigkeit 2 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 230 kPav1 = 2 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,1 m/s durch ein waagerechtes, 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
V = 2,1 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 30 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 30 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 44 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 90 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung Pel, die der Motor aufnimmt, in kW.
Q = 50 L/sH = 44 mηpump = 75%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 30 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 7 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 65 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 235,4 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
Antwort
F = 235,4 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 24,28 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·1,25·2,25 = 24,28 kN
Antwort
F = 24,28 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 190 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−10) = 190 kPa
Antwort
p2 = 190 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 101,4 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/75)² = 14,22 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 14,22²)/1000 = −99,14 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−99,14) − 29,43 = 101,4 kPa
Antwort
p2 = 101,4 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δp = 22,05 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlusthöhe
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,15)·2,1²/(2·9,81) = 2,248 m
Druckverlust
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,248 = 22050 Pa = 22,05 kPa
Antwort
Δp = 22,05 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 169,6 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
30 = (12,5 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·30/20,2) = 5,398 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 5,398·0,03142 = 0,1696 m³/s = 169,6 L/s
Antwort
Q = 169,6 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pel = 31,97 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·44 = 21,58 kW
Wellenleistung
Pshaft = 21,58/0,75 = 28,78 kW
Elektrische Leistung
Pel = 28,78/0,9 = 31,97 kW
Antwort
Pel = 31,97 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 7,027 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1469 = 8,52 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 7 + 8,52 = 15,52 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·15,52/0,65 = 7,027 kW
Antwort
Pshaft = 7,027 kW
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