Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Ein Prandtl-Rohr in einer Wasserleitung zeigt eine Differenz von 34 kPa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Bestimme die Wassergeschwindigkeit v an der Sondenspitze.

p₀ − p = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 90 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 30 mm Durchmesser, 1 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

p_air = 90 kPa (Überdruck)h = 1 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1,1 m/s durch ein 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 1,1 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 5). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 60 L/s beträgt?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 26 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 60 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 92 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 15 L/sH = 26 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 23 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 85 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 23 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 85,84 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN

Antwort

F = 85,84 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 33,11 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN

Antwort

F = 33,11 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 8,246 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli bis zum Staupunkt

Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·34000/1000) = 8,246 m/s

Antwort

v = 8,246 m/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 9,987 L/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl

v = √(2·(90000/1000 + 9,81·1)) = 14,13 m/s

Volumenstrom

Q = A·v = 0,0007069·14,13 = 0,009987 m³/s = 9,987 L/s

Antwort

Q = 9,987 L/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 4,625 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,2)·1,1²/(2·9,81) = 4,625 m

Antwort

h_f = 4,625 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 2,086 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 20 + 6,4)·0,07615 = 2,086 m

Antwort

H = 2,086 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 6,931 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·26 = 3,826 kW

Wellenleistung

P_shaft = 3,826/0,6 = 6,377 kW

Elektrische Leistung

P_el = 6,377/0,92 = 6,931 kW

Antwort

P_el = 6,931 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 29,47 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,3305 = 8,924 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 23 + 8,924 = 31,92 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·31,92/0,85 = 29,47 kW

Antwort

P_shaft = 29,47 kW

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