Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 2 mH = 1 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 0,5 mH = 2,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 50 kPa

Wasser strömt mit 19 L/s durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 75 mm verengt. Der Druck im engen Abschnitt beträgt 50 kPa. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Druck p1 im weiten Abschnitt.

Q = 19 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 50 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12Δh = 280 mmQuecksilberQ = ?

Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 100 mm, Engstelle 60 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 280 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,96. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 280 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Q = 40 L/sD = 250 mmL = 200 mf = 0,03

Wasser fließt mit 40 L/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.

Q = 40 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 100 mm, f = 0,023× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 10 L/s?

Q = 10 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 60 L/sH = 38 m

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 75 % fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 38 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.

Q = 60 L/sH = 38 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
PQ = 20 L/sΔz = 9 mL = 300 m, D = 100 mm, f = 0,015, ΣK = 6

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 9 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 20 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 36,79 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Schützd = 2 mH = 1 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Antwort

F = 36,79 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 43,99 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Schützd = 0,5 mH = 2,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,75·2,5 = 43,99 kN

Antwort

F = 43,99 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p1 = 56,32 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Geschwindigkeiten

v1 = Q/A1 = 0,019/0,007854 = 2,419 m/s
v2 = Q/A2 = 0,019/0,004418 = 4,301 m/s

Bernoulli

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 50 + ½·1000·(4,301² − 2,419²)/1000 = 50 + 6,322 = 56,32 kPa

Antwort

p1 = 56,32 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 24,21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Druckdifferenz aus dem Manometer

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,28 = 34610 Pa

Geschwindigkeit in der Engstelle

Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.

β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·34610/(1000·(1 − 0,1296))) = 8,918 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,002827·8,918 = 0,02421 m³/s = 24,21 L/s

Antwort

Q = 24,21 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: hf = 0,8123 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,04/0,04909 = 0,8149 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 0,8149²/(2·9,81) = 0,03384 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,25)·0,8149²/(2·9,81) = 0,8123 m

Antwort

hf = 0,8123 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 3,503 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Gesamte Verlusthöhe

hf = 30·0,08263 = 2,479 m
hm = 12,4·0,08263 = 1,025 m
Δz = hf + hm = 3,503 m

Antwort

Δz = 3,503 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: Pshaft = 29,82 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·38 = 22,37 kW

Wellenleistung

Pshaft = Ph/η = 22,37/0,75 = 29,82 kW

Antwort

Pshaft = 29,82 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 25,86 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0,3305 = 16,86 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + hL = 9 + 16,86 = 25,86 m

Antwort

H = 25,86 m

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