Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 1,5 mH = 1 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 1 mH = 1,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0,61h = 3 m

Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 30 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 3 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,61. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 3 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
H = ?d1​ = 50 mmp1​ = 140 kPad2​ = 25 mm

Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 50 mm Durchmesser und einen Überdruck von 140 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 25 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².

d1 = 50 mmp1 = 140 kPa (Überdruck)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Q = 100 L/sD = 250 mmL = 100 mf = 0,02

Wasser fließt mit 100 L/s durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 0,2Δz = 7 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,0253× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 7 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 0,2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.

Δz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 50 L/sH = 28 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 28 m, während ihre Welle 16,7 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 50 L/sH = 28 mPshaft = 16,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
100 kPa (Überdruck)PQ = 75 L/sΔz = 6 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,025, ΣK = 4

Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 6 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 4 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 100 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 4ptank = 100 kPa
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 29,43 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Schützd = 1,5 mH = 1 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Antwort

F = 29,43 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: ycp = 1,857 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Schützd = 1 mH = 1,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,75·4,5 = 79,19 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,8438/(1,75·4,5) = 1,857 m

Antwort

ycp = 1,857 m
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 3,308 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ideale Strahlgeschwindigkeit

√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0007069·7,672 = 0,003308 m³/s = 3,308 L/s

Antwort

Q = 3,308 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: H = 15,22 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Austrittsgeschwindigkeit

β = 25/50 = 0,5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0,9375)) = 17,28 m/s

Höhe des Strahls

Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.

H = v2²/(2g) = 17,28²/(2·9,81) = 15,22 m

Antwort

H = 15,22 m
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: hf = 1,692 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,25)·2,037²/(2·9,81) = 1,692 m

Antwort

hf = 1,692 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Q = 162,1 L/s

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Energiegleichung

Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.

7 = (10 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/12,6) = 3,302 m/s

Volumenstrom

Q = V·π·D²/4 = 3,302·0,04909 = 0,1621 m³/s = 162,1 L/s

Antwort

Q = 162,1 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 82,24 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·28 = 13,73 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 13,73/16,7 = 82,24%

Antwort

η = 82,24%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 17,86 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0,119 = 1,666 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 10,19 + 1,666 = 17,86 m

Antwort

H = 17,86 m

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