Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 1 mH = 2,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 1 mH = 3 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 11 kPaQ = ?

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 60 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 11 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 11 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 150 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt und dabei um 7 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 340 kPa und die Geschwindigkeit 1,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 340 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 2,7 m/sD = 50 mmL = 1000 mf = 0,015

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,7 m/s durch ein waagerechtes, 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 50 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 2,7 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 0,2freier AuslaufH = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0,0154× Krümmer (K = 0,3)

Ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 0,2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 150 L/s beträgt?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 50 L/sH = 22 m

Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 22 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 60 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 90 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung Pel, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 50 L/sH = 22 mηpump = 60%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
150 kPa (Überdruck)PQ = 120 L/sΔz = 22 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 5

Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 22 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 150 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 120 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 55,18 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Schützd = 1 mH = 2,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·2,5 = 55,18 kN

Antwort

F = 55,18 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 92,7 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Schützd = 1 mH = 3 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,5·3 = 92,7 kN

Antwort

F = 92,7 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 14,21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·11000/(1000·(1 − 0,1296))) = 5,027 m/s
v1 = 1,81 m/s

Volumenstrom

Q = A2·v2 = 0,002827·5,027 = 0,01421 m³/s = 14,21 L/s

Antwort

Q = 14,21 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 268,2 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(150/100)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−3,174) − 68,67 = 268,2 kPa

Antwort

p2 = 268,2 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 1094 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,05)·2,7²/(2·9,81) = 111,5 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·111,5 = 1,094 × 10⁶ Pa = 1094 kPa

Antwort

Δp = 1094 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 2,961 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 10 + 1,9)·0,2295 = 2,961 m

Antwort

H = 2,961 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: Pel = 19,98 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·22 = 10,79 kW

Wellenleistung

Pshaft = 10,79/0,6 = 17,99 kW

Elektrische Leistung

Pel = 17,99/0,9 = 19,98 kW

Antwort

Pel = 19,98 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 43,2 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 5)·0,3046 = 5,909 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 22 + 15,29 + 5,909 = 43,2 m

Antwort

H = 43,2 m

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