Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 30 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 2 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,6. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 2 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein Schlauch mit 25 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 0,5 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 3,5 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den Volumenstrom Q.

d = 25 mmz_C = +0,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,2 m/s durch ein waagerechtes, 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 2,2 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 50 L/s beträgt?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 82 % fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 22 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 60 L/sH = 22 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 26 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 80 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 26 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 49,05 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Antwort

F = 49,05 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 4,083 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·2 = 98,88 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m

Antwort

y_cp = 4,083 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 2,657 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ideale Strahlgeschwindigkeit

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,0007069·6,264 = 0,002657 m³/s = 2,657 L/s

Antwort

Q = 2,657 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 4,068 L/s

Geschwindigkeit im Schlauch

Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Volumenstrom

Q = A·v = 0,0004909·8,287 = 0,004068 m³/s = 4,068 L/s

Antwort

Q = 4,068 L/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 159,7 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 16,28 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·16,28 = 159720 Pa = 159,7 kPa

Antwort

Δp = 159,7 kPa

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 0,9466 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 13,2 + 3,7)·0,05288 = 0,9466 m

Antwort

H = 0,9466 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 15,79 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·22 = 12,95 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 12,95/0,82 = 15,79 kW

Antwort

P_shaft = 15,79 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 32,06 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,2905 = 8,86 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 26 + 8,86 = 34,86 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·34,86/0,8 = 32,06 kW

Antwort

P_shaft = 32,06 kW

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