Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 270 kPa und die Geschwindigkeit 2 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 50 mm Durchmesser und einen Überdruck von 100 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 20 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 100 kPa (Überdruck)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit 3 L/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 50 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

Q = 3 L/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 10). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 75 L/s beträgt?

Q = 75 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 30 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 70 m, während ihre Welle 25,8 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 30 L/sH = 70 mP_shaft = 25,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 5 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 4 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 78 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 4η = 78%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 485,6 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Antwort

F = 485,6 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 1,857 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,75·4,5 = 67,98 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,8438/(1,75·4,5) = 1,857 m

Antwort

y_cp = 1,857 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 261,9 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−8,125) = 261,9 kPa

Antwort

p₂ = 261,9 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: H = 10,46 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Austrittsgeschwindigkeit

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9744)) = 14,33 m/s

Höhe des Strahls

Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.

H = v₂²/(2g) = 14,33²/(2·9,81) = 10,46 m

Antwort

H = 10,46 m

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 17,85 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 17,85 m

Antwort

h_f = 17,85 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 5,009 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 30 + 11,1)·0,119 = 5,009 m

Antwort

H = 5,009 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 79,85 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·70 = 20,6 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 20,6/25,8 = 79,85%

Antwort

η = 79,85%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 9,61 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 4)·0,2611 = 14,1 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 5 + 14,1 = 19,1 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·19,1/0,78 = 9,61 kW

Antwort

P_shaft = 9,61 kW

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