Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Ein Prandtl-Rohr in einer Wasserleitung zeigt eine Differenz von 20 kPa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Bestimme die Wassergeschwindigkeit v an der Sondenspitze.
p0 − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 110 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 30 mm Durchmesser, 3,5 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².
pair = 110 kPa (Überdruck)h = 3,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,6 m/s durch ein waagerechtes, 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 50 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
V = 2,6 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 34 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 34 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 78 % fördert 30 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 78 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 30 L/sH = 78 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 14 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 400 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 300 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5ptank = 300 kPa
H = m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 309 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN
Antwort
F = 309 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 4,789 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·3 = 139,8 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,75 + 0,5625/(4,75·3) = 4,789 m
Antwort
ycp = 4,789 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: v = 6,325 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli bis zum Staupunkt
Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·20000/1000) = 6,325 m/s
Antwort
v = 6,325 m/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 12,01 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl
v = √(2·(110000/1000 + 9,81·3,5)) = 16,99 m/s
Volumenstrom
Q = A·v = 0,0007069·16,99 = 0,01201 m³/s = 12,01 L/s
Antwort
Q = 12,01 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δp = 540,8 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlusthöhe
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,05)·2,6²/(2·9,81) = 55,13 m
Druckverlust
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·55,13 = 540800 Pa = 540,8 kPa
Antwort
Δp = 540,8 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 133,2 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
34 = (30 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·34/37,1) = 4,24 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 4,24·0,03142 = 0,1332 m³/s = 133,2 L/s
Antwort
Q = 133,2 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 29,43 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·78 = 22,96 kW
Wellenleistung
Pshaft = Ph/η = 22,96/0,78 = 29,43 kW
Antwort
Pshaft = 29,43 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 68,38 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 5)·0,408 = 23,8 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 14 + 30,58 + 23,8 = 68,38 m
Antwort
H = 68,38 m
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