Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Ein Prandtl-Rohr in einer Wasserleitung zeigt eine Differenz von 4 kPa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Bestimme die Wassergeschwindigkeit v an der Sondenspitze.

p₀ − p = 4 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 75 mm Durchmesser und einen Überdruck von 140 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 30 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 140 kPa (Überdruck)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,2 m/s durch ein waagerechtes, 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 2,2 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 0,2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 50 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 65 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 92 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 100 L/sH = 50 mη_pump = 65%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 17 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 264,9 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN

Antwort

F = 264,9 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 3,595 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 2/(3,5·6) = 3,595 m

Antwort

y_cp = 3,595 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 2,828 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli bis zum Staupunkt

Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·4000/1000) = 2,828 m/s

Antwort

v = 2,828 m/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: H = 14,65 m

Austrittsgeschwindigkeit

β = 30/75 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0,9744)) = 16,95 m/s

Höhe des Strahls

Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.

H = v₂²/(2g) = 16,95²/(2·9,81) = 14,65 m

Antwort

H = 14,65 m

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 677,6 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 69,07 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·69,07 = 677600 Pa = 677,6 kPa

Antwort

Δp = 677,6 kPa

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 2,578 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 8,333·0,2295 = 1,913 m

h_m = 2,9·0,2295 = 0,6656 m

Δz = h_f + h_m = 2,578 m

Antwort

Δz = 2,578 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 82,02 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·50 = 49,05 kW

Wellenleistung

P_shaft = 49,05/0,65 = 75,46 kW

Elektrische Leistung

P_el = 75,46/0,92 = 82,02 kW

Antwort

P_el = 82,02 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 29,56 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,3305 = 12,56 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + h_L = 17 + 12,56 = 29,56 m

Antwort

H = 29,56 m

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