Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 250 mm Eintrittsdurchmesser und 125 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 35 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 35 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 150 mm, Engstelle 75 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 390 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,95. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 390 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit 75 L/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Q = 75 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 100 L/s beträgt?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 85 % fördert 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 38 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 100 L/sH = 38 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 6 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 2,5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 78 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 2,5η = 78%
Pshaft = kW
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 29,43 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN
Antwort
F = 29,43 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 3,8 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,8438/(3,75·4,5) = 3,8 m
Antwort
ycp = 3,8 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 106 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·35000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,641 m/s
v1 = 2,16 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,01227·8,641 = 0,106 m³/s = 106 L/s
Antwort
Q = 106 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 42,56 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Druckdifferenz aus dem Manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,39 = 48206 Pa
Geschwindigkeit in der Engstelle
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·48206/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,14 m/s
Tatsächlicher Volumenstrom
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,004418·10,14 = 0,04256 m³/s = 42,56 L/s
Antwort
Q = 42,56 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 20,91 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Mittlere Geschwindigkeit
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,387²/(2·9,81) = 0,2905 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,2)·2,387²/(2·9,81) = 20,91 m
Antwort
hf = 20,91 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: H = 7,953 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4
Energiegleichung
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
H = (1 + 11 + 3,4)·0,5164 = 7,953 m
Antwort
H = 7,953 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 43,86 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·38 = 37,28 kW
Wellenleistung
Pshaft = Ph/η = 37,28/0,85 = 43,86 kW
Antwort
Pshaft = 43,86 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 11,86 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 2,5)·0,3305 = 5,784 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 6 + 5,784 = 11,78 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·11,78/0,78 = 11,86 kW
Antwort
Pshaft = 11,86 kW
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