Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 75 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 210 kPa und die Geschwindigkeit 3 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 210 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 200 mm auf 50 mm verengt und dabei um 7 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 170 kPa und die Geschwindigkeit 0,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit 120 L/s durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 20 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 0,2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.

Δz = 20 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 78 % fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 16 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 80 L/sH = 16 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 11 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 78 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 176,6 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Antwort

F = 176,6 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,939 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·5 = 118,7 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 2,604/(2,75·5) = 2,939 m

Antwort

y_cp = 2,939 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 200,3 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/75)² = 5,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 5,333²)/1000 = −9,722 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−9,722) = 200,3 kPa

Antwort

p₂ = 200,3 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 29,61 kPa

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−71,72) − 68,67 = 29,61 kPa

Antwort

p₂ = 29,61 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 1,616 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 1,616 m

Antwort

h_f = 1,616 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Q = 203,2 L/s

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Energiegleichung

Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.

20 = (20 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·20/22,9) = 4,139 m/s

Volumenstrom

Q = V·π·D²/4 = 4,139·0,04909 = 0,2032 m³/s = 203,2 L/s

Antwort

Q = 203,2 L/s

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 16,1 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·16 = 12,56 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 12,56/0,78 = 16,1 kW

Antwort

P_shaft = 16,1 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 19 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 5)·0,2115 = 4,104 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 11 + 4,104 = 15,1 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·15,1/0,78 = 19 kW

Antwort

P_shaft = 19 kW

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