Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 25 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 160 kPa und die Geschwindigkeit 1,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 80 mm, Engstelle 40 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 350 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,95. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 350 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,7 m/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 5). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 100 L/s beträgt?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 28 m, während ihre Welle 28,2 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 80 L/sH = 28 mP_shaft = 28,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 9 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 70 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 22,07 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Antwort

F = 22,07 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 47,82 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN

Antwort

F = 47,82 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 97,5 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/25)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−62,5) = 97,5 kPa

Antwort

p₂ = 97,5 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 11,47 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Druckdifferenz aus dem Manometer

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,35 = 43262 Pa

Geschwindigkeit in der Engstelle

Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·43262/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,607 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,001257·9,607 = 0,01147 m³/s = 11,47 L/s

Antwort

Q = 11,47 L/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 55,73 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,1)·2,7²/(2·9,81) = 55,73 m

Antwort

h_f = 55,73 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 15,6 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 22,5 + 6,7)·0,5164 = 15,6 m

Antwort

H = 15,6 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 77,92 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·28 = 21,97 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 21,97/28,2 = 77,92%

Antwort

η = 77,92%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 8,998 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,2611 = 7,051 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 9 + 7,051 = 16,05 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·16,05/0,7 = 8,998 kW

Antwort

P_shaft = 8,998 kW

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