Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 310 kPa und die Geschwindigkeit 2,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 310 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 20 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 20 mm Durchmesser, 4,5 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².
pair = 20 kPa (Überdruck)h = 4,5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit 50 L/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Q = 50 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 23 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 23 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 64 m, während ihre Welle 11,1 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 15 L/sH = 64 mPshaft = 11,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 15 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 400 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 78 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 239,1 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN
Antwort
F = 239,1 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 116,5 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,5·3 = 116,5 kN
Antwort
F = 116,5 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 272 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(100/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−37,97) = 272 kPa
Antwort
p2 = 272 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 3,558 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl
v = √(2·(20000/1000 + 9,81·4,5)) = 11,33 m/s
Volumenstrom
Q = A·v = 0,0003142·11,33 = 0,003558 m³/s = 3,558 L/s
Antwort
Q = 3,558 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 1,19 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Mittlere Geschwindigkeit
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 1,19 m
Antwort
hf = 1,19 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 268,3 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
23 = (8 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/15,1) = 5,467 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 5,467·0,04909 = 0,2683 m³/s = 268,3 L/s
Antwort
Q = 268,3 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 84,84 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·64 = 9,418 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 9,418/11,1 = 84,84%
Antwort
η = 84,84%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 27,3 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,2905 = 13,94 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 15 + 13,94 = 28,94 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·28,94/0,78 = 27,3 kW
Antwort
Pshaft = 27,3 kW
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