Geotechnik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Effektive Spannung im Boden

Totale Spannung: σ = Σγ_i·h_i
Porenwasserdruck: u = γ_w·(z − z_w)
Effektive Spannung: σ′ = σ − u
Wasser: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidationssetzung

Normal konsolidiert: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Endspannung: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Überkonsolidiert, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Überkonsolidiert, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Überkonsolidierungsgrad: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidierungszeit: t = T_v·H_dr²/c_v
Dränweg: H_dr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
Zeitfaktoren: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

2Übungsaufgaben

1.Effektive Spannung im BodenMittel

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 15 kN/m³Sand: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

2.Effektive Spannung im BodenSchwer

Bestimme für das gezeigte Bodenprofil den Porenwasserdruck u im Punkt X.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³Sand: γ_d = 17 kN/m³Sand: γ_sat = 18,5 kN/m³Ton: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

3.KonsolidationssetzungMittel

Eine 3 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat C_c = 0,45, C_r = 0,06 und e₀ = 0,7. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 110 kPa und die Vorbelastungsspannung 190 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 140 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.

H = 3 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 0,7σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

4.KonsolidationssetzungSchwer

In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 25 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 12 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 3,5 m dicke Schicht. Sie liegt auf undurchlässigem Fels, mit Sand darüber, das Wasser kann also nur oben austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?

h_lab = 25 mmt_lab = 12 minH = 3,5 mFeld: einseitige Entwässerung

t = Tage

5.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3Lösungen

1.Effektive Spannung im Boden

Antwort: σ = 130 kPa

Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γ_w·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).

Totale Spannung

Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·2 + 20·5 = 130 kPa

Antwort

σ = 130 kPa

2.Effektive Spannung im Boden

Antwort: u = 49,05 kPa

Porenwasserdruck

Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Antwort

u = 49,05 kPa

3.Konsolidationssetzung

Antwort: S = 119,8 mm

Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′_p entlang C_r wiederbelastet und folgt erst darüber C_c. Zeit: t = T_v·H_dr²/c_v, wobei der Dränweg H_dr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.

Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen

σ′_f = 110 + 140 = 250 kPa > 190 kPa

Setzung

Wiederbelastung bis σ′_p, Erstbelastung darüber.

S = 0,06·3/(1 + 0,7)·log₁₀(190/110) + 0,45·3/(1 + 0,7)·log₁₀(250/190)

S = 25,13 + 94,65 = 119,8 mm

Antwort

S = 119,8 mm

4.Konsolidationssetzung

Antwort: t = 653,3 Tage

Dränwege

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 3,5 m

Die Zeit umrechnen

t = T_v·H_dr²/c_v mit demselben T_v und c_v im Labor und im Feld.

t_field = 12·(3,5/0,0125)² = 940800 min

t_field = 940800/1440 = 653,3 Tage

Antwort

t = 653,3 Tage

5.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 19,62 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN

Antwort

F = 19,62 kN

6.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 1,857 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·2,25 = 48,67 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,4219/(1,75·2,25) = 1,857 m

Antwort

y_cp = 1,857 m

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